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Beweisen Sie, dass die Abbildung
$$ \begin{array}{l} \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\ \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \end{array} $$
a) injektiv ist;
b) surjektiv ist.

Wie beweist man in diesem Fall die Injektivität/Surjektivität?

Mann soll nicht über den Kern bzw. Rang oder Inverse argumentieren, da wir das noch nicht behandelt haben.

Es soll allein über die Definition von Injektivität/Surjektivität geschehen, aber mich irretieren die Vektoren.

f(x1, x2) = f(y1, y2) , also x1 = y1 und x2 = y2 oder wie? komme dann aber auch auf keine überzeugende Lösung.

Freue mich über jede Hilfe

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Hallo,

f(x1, x2) = (x_1+2x_2, x_2)

f(y1,y2) = (y_1+2y_2, y_2)

Gleichsetzen ergibt das Gleichungssystem

x_1 + 2x_2 = y_1 + 2y_2

x_2 = y_2

Und jetzt kannst du die Injektivität eigentlich schon ablesen.

Für Surjektiv müsstest du die Matrix invertieren.

Avatar von 37 k

hey, danke.

Invertieren hatten wir leider noch nicht. Kann man die Surjektivität noch anders zeigen?

Ich hatte mich auch vertan, die Matrix muss nicht invertierbar sein.

Es bleibt die Definition von Surjektiv.

Zu zeigen:

∀ (y1,y2) ∃ (x1,x2) so dass

f(x1,x2) = (y1,y2)


Es ergibt sich das LGS

x_1 + 2x_2 = y_1

x_2 = y_2

welches du nach (x1,x2) auflösen kannst:

x1= y1-2y2

x2= y2

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