Question

Lipschitzstetigkeit im metrischen Raum beweisen

Gegeben ist:

nicht leere Menge \(  A \subset \mathbb{R}^n, \, x \in \mathbb{R}^n \)

\( d(x,A) := inf\{||x - y||_{2} \, : \, y \in A\} \)

Wie kann ich beweisen das folgender Ausdruck Lipschitzstetig ist:

\( d(\cdot, A): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \, x \mapsto d(x, A) \)

Answer 1

Hallo,

für \(x,y \in \mathbb{R}^n\) und \(a \in A\) gilt:

$$d(x,A) \leq \|x-a \| \leq \|x-y\| + \| y-a\|$$

Also ist \(d(x,A) \) eine untere Schranke für alle Zahlen \( \|x-y\| + \| y-a\|\) mit \(a \in A\). Nun ist das Infimum die größte untere Schranke, also

$$d(x,A) \leq \inf \{ \|x-y\| + \| y-a\| \mid a \in A\}=\|x-y\| + d(y,A)$$

Also

$$d(x,A)-d(y,A) \leq \|x-y\|$$

Jetzt schreibst Du das ganze erneut auf, wobei Du x und y vertauschst und erhältst insgesamt, dass die Lipschitz-Konstante gleich 1 ist.

Gruß

Comments

Danke, das hat mir sehr geholfen. Bist du der selbe MathePeter, der mir schon so oft auf Youtube mit seinen Videos geholfen hat? :)

---

Nein, bin ich nicht