Grenzwert der komplexen Folge bestimmen: zn=(n+1+e^in)/(in+2)

Question

Grenzwert bestimmen komplexe Folge:

zn=(n+1+e^{in})/(in+2)

Ich habe dafür keinen Ansatz und bin mir auch nicht sicher wie ich bei folgen mit i umzugehen habe. bei normalen folgen habe ich oft bei brüchen durch die höchste potenz geteilt weil dann geweisse terme gegen null gingen. Hier müsste ich erst mit dem konjugiert komplexen nenner erweitern. aber was passiert dann mit der efunktion und i? Brauche wirklich hilfe.

Answer 1

wandle e^{in} in die kartesiche Form um.

zn = (n + 1 + e^{in})/(2 + in) = (n + 1 + cos(n) + i sin(n))/(2 + in)
zn = (n + 1 + cos(n) + i sin(n))(2 - in)/((2 + in)(2 - in))
zn = (2n - in^2 + 2 - in + 2cos(n) - in cos(n) + 2i sin(n) - n sin (n))/(2 + n^2) | 1/n^2/1/n^2
zn = (2n/n^2 - in^2/n^2 + 2/n^2 - in/n^2 + 2cos(n)/n^2 - in cos(n)/n^2 + 2isin(n)/n^2 - n sin (n)/n^2)/(2/n^2 + n^2/n^2)
zn = (2/n - i + 2/n^2 - i/n + 2cos(n)/n^2 - i cos(n)/n + 2i sin(n)/n^2 - sin(n)/n)/(2/n^2 + 1)

Nach Ausführung des Übergangs von n gegen unendlich bleibt übrig -i/1, der Grenzwert ist also -i.