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1.$$\frac { { i }^{ n } }{ n+1 }$$

2.$$\cfrac { { (n+1 })^{ 2 }+{ in } }{ { 3n }+{ 2in }^{ 2 } }$$

3.$$ \left( \frac { 1+i }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ n }$$


Diese Folgen sind auf Konvergenz und Divergenz zu untersuchen, sowie der Grenzwert (falls vorhanden) in der Form a + bi anzugeben. a, b sind Elemente der reellen Zahlen, i ist die imaginäre Einheit.

Ich habe bei der 1 und 2 ein bisschen was versucht, aber keine Ahnung, ob ich das richtig gemacht habe.

Zu 1.

$$lim |\frac { { i }^{ n } }{ n+1 } | = lim \frac { 1 }{ n+1 } = 0 = 0+0i $$


Zu 2. $$\cfrac { { (n+1 })^{ 2 }+{ in } }{ { 3n }+{ 2in }^{ 2 } } = \cfrac { n^{ 2 }+2n+1+{ in } }{ { 3n }+{ 2in }^{ 2 } } = \cfrac { 1+\frac { 2 }{ n } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } +\frac { i }{ n } }{ { \frac { 3 }{ n } }+2i } $$
$$lim \cfrac { 1+\frac { 2 }{ n } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } +\frac { i }{ n } }{ { \frac { 3 }{ n } }+2i } = \frac { 1 }{ 2i } = 0 + \frac { 1 }{ 2 } { i }^{ -1 } $$

Zu 3.

Habe ich bisher nur nach $$ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n }{ \left( n+1 \right) }^{ n } $$ umgeformt. In Wolframalpha habe ich gesehen, dass der Graph ähnlich wie eine Sinuskurve verläuft und demnach divergieren würde. Allerdings wüsste ich nicht, wie ich das begründen soll.Ich wäre über Verbesserungsvorschläge und Erklärungsversuche jeder Art wirklich sehr glücklich.

von

1 Antwort

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1 und 2 hast du soweit richtig

Bei 1 wäre die Begründung: der Betrag der Folge strebt gegen 0, daher ist der Grenzwert =0

3.Es ist (1+i)/sqrt(2)=e^{iπ/4}.

Dann ist a_n = e^{i*nπ/4}, a_(n)=a_(n+8) und a_(0)=1 und a_(1)= e^{iπ/4}

Die Folge konvergiert also nicht.

von 36 k

Danke für die Antwort. Die 1 habe ich dann auf Papier korrigiert.

Leider wurde die eulersche Zahl in der Vorlesung noch nicht definiert, deswegen würde ich mich von dieser Lösung lieber fernhalten. Falls jemand noch einen anderen Lösungsweg hat, würde ich mich über diesen freuen.

Die e-Darstellung kannst du auch weglassen und alles kartesisch rechnen.

Zeige einfach, dass die Folge zwei Häufungswerte hat, dann bist du fertig.

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