Komplexe Zahlen: Vereinfachen Z2= (cos(π/2) - j*sin(π/2)) / ((2+j)^2 * 3j )

Question

Ich hatte das Gefühl, dass die ich die komplexen Zahlen gut beherrsche. Aber seitdem ich eine Klausuraufgabe gefunden habe, habe ich meine Meinung geändert :( :( Bitte helft mir. Auch wenn mir jemand einen Aufgabenteil erklärt ist es super :) Ich weiß die Aufgabe ist zu viel, aber ich habe wirklich gar nichts davon verstanden. Wenn so eine Aufgabe auch demnächst in der Klausur vorkommt, dann wars das für mich :( :( :( Ich schreibe einfach mal die Aufgabe auf. Hoffentlich könnt ihr mir helfen :)

a) Gegeben sei die komplexe Zahl       Z1= -j²³ + 3×j¹⁴.
Vereinfachen Sie die Darstellung von Z1 und geben Sie Real- und Imaginärteil von Z1 an!


b) Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck und geben Sie das Endergebnis in der kartesischen Form (z=a+b×j) an.

Z2= cos (π/2) - [ j×sin(π/2) ] / [ (2+j)² ×3j ]

c) Wie lauten die Lösungen der folgenden Gleichung?
Z3 + 3= 4j
Berechnen Sie in Bogenmaß. Die Endergebnisse sind in der trigonometrischen Form z=r×(cos α + j×sin α)


Ich weiß, dass ist alles zu viel auf einmal, aber ich habe wirklich keine Idee. Im Internet konnte ich auch nichts finden. Vor allem die Darstellung aus A habe ich weder in einer der Vorlesungen gesehen noch in einem Buch. Bitte helft mir. Auch wenn ihr einen Aufgabenteil nur löst, ist es sehr nett von euch :)

Answer 1

Bei a) ist mit j einfach das komplexe i gemeint. Also -j^{23} + 3*j^{14} = -i^{23} + 3*i^{14}. Nur eine andere Schreibweise (i=j). Verstehst du jetzt? Für Fragen --> Kommentar

Bei b): Ich weiss nicht, was du schon kennst von den komplexen Zahlen. Lies dir das folgende mal durch, dann solltest du es verstehen können ;). http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m1/komplex/5a-polar.pdf

Hier musst du die Gleichung eben lösen, durch umstellen usw. Genauso wie die anderen 'normalen' Gleichungen. Das Ergebnis musst du als trigonometrsiche Form darstellen.

 

Also j=i. Diese Schreibweise wird soweit ich weiss aber eher in Physik benutzt. Wenn ihr Polarform oder trigonometrsiche Form usw, was man eben für diese Übungen als Wissen benötigt, nich nicht hattet, ist es auch nicht sehr sinnvoll sich an diesen Aufgaben zu versuchen :). 

mfg legendär

Answer 2

a)

Bedenke: j ist die imaginäre Einheit (in der Mathematik schreibt man statt "j" allerdings in der Regel "i").

Es gilt:

j = √ ( - 1 )
j ² = -1
j ³ = j ² * j = - j
j ⁴ = j ² * j ² = 1

Allgemein für n ∈ N^:

j ^{4 n - 3} = j
j ^{4 n - 2} = -1
j ^{4 n - 1} = - j
j ^{4 n} = 1

Auf diese Weise lassen sich alle Potenzen von j auf die Potenzen

j ¹= j , j ² = - 1 , j ³ = - j bzw. j ⁴ = 1 

zurückführen.

Also:

Z ₁ = - j ²³ + 3 * j ¹⁴

= - ( j ²⁰ * j ³ ) + 3 * ( j ¹² * j ² )

= - ( j ^{4 * 5} * j ³ ) + 3 * ( j ^{4 * 3} * j ² )

= - ( j ⁴ * j ³ ) + 3 * ( j ⁴ * j ² )

= - ( 1 * ( - j ) ) + 3 * ( 1 * ( - 1 ) )

= j - 3

= - 3 + 1 * j

=>Re ( Z ₁ )  = - 3 , Im ( Z ₁ ) = 1

 

b)

$${ Z }_{ 2 }=\frac { cos(π/2)-j×sin(π/2) }{ (2+j)2×3j }$$cos und sin von π/2 ausrechnen, Nenner ausmultiplizieren:$$ ={ \frac { 0-j*1 }{ 12j+6{ j }^{ 2 } } }$$Zähler zusammenfassen, Nenner vereinfachen mit j ²=-1: $$=\frac { -j }{ -6+12j }$$Nenner reell machen durch Erweitern des Bruches mit dem konjugiert Komlexen des Nenners:$$=\frac { -j(-6-12j) }{ (-6+12j)(-6-12j) }$$Ausmultiplizieren:$$=\frac { 6j+12{ j }^{ 2 } }{ 36-144{ j }^{ 2 } }$$Vereinfachen mit j ² = - 1:$$=\frac { 6j-12 }{ 36+144 }$$In Real- und Imaginärteil zerlegen:$$=-\frac { 12 }{ 180 } +\frac { 6 }{ 180 } j$$Kürzen:$$=-\frac { 1 }{ 15 } +\frac { 1 }{ 30 } j$$
 

EDIT: Nun steht da im Nenner plötzlich ein Quadrat ...
Nun gut, dann gilt:

$${ Z }_{ 2 }=\frac { cos(π/2)-j*sin(π/2) }{ { (2+j) }^{ 2 }*3j } $$cos und sin von π/2 ausrechnen, Nenner ausmultiplizieren:$$={ \frac { 0-j*1 }{ 12j+12{ j }^{ 2 }-3j }  }$$Zähler zusammenfassen, Nenner vereinfachen mit j ² = - 1, dann mit -1 erweitern:$$=\frac { j }{ 12-9j } $$Nenner reell machen durch Erweitern des Bruches mit dem konjugiert Komlexen des Nenners:$$=\frac { j(12+9j) }{ (12-9j)(12+9j) } $$Ausmultiplizieren:$$=\frac { 9{ j }^{ 2 }+12{ j } }{ 144-81{ j }^{ 2 } } $$Vereinfachen mit j ² = - 1:$$=\frac { -9+12j }{ 225 } $$In Real- und Imaginärteil zerlegen:$$=-\frac { 9 }{ 225 } +\frac { 12 }{ 225 } j$$Kürzen:$$=-\frac { 1 }{ 25 } +\frac { 4 }{ 75 } j$$

 

c)

Z₃ + 3 = 4 j

<=> Z₃ = a + b j = - 3 + 4 j

Umrechnung in die trigonometrische Form z = r * ( cos α + + j * sin α ):

r = | Z₃ | = √ ( a ² + b ² ) = √ ( ( - 3 ) ² + 4 ² ) = √ 25 = 5

b = r * sin ( α )

<=> α = arcsin ( b / r ) = arcsin ( 4 / 5 ) = 0,927 rad

=> Z₃ = 5 * ( cos ( 0,927 ) + j sin ( 0,927...) )

Comments

Vielen vielen Dank :D Das hat mir sehr gut geholfen :D

Diese Seite ist der Hammer für Leute, die Probleme in Mathematik haben :D

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eeehmmm wie kommst du hier eigentlich auf auf 12j+12j² *3j ???

 

wenn ich (2+j)² *3j  nehme und ausmultipliziere, dann komme ich auf  9j-12 und nicht auf  "+12-9j "

denn, ( 2+j)² ⇒ rechne ich so: (2+j) * ( 2+j)= 4+4j+j²  entspricht ⇒ 4+4j-1 ⇒ zusammengefasst: 3-4j

dann das ganze mochmal mit *3j nehmen: 

⇒⇒ (3+4j) *3j= 9j+12j²  entspricht 9j-12

 

was mache ich denn falsch??? denn bei dir kommt +12 -9 , also vorzeichen ist bei dir anders, aber warum, was mache ich denn falsch

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Nun, das einzige, was du falsch gemacht hast, ist, dass du meinen Kommentar nicht richtig gelesen hast. Ich schrieb dort:

Zähler zusammenfassen, Nenner vereinfachen mit j ² = - 1, dann mit -1 erweitern:

Daraus ergibt sich die Vorzeichenumkehr.