Beides konvergiert ja gegen 0, wie kann ich das beweisen?

Question

Aufgabe:

Ist die reelle Folge (a²_n)_n∈ℕ konvergent dann ist auch (a_n)_{n∈ℕ konvergent.}

Problem/Ansatz: Dann gilt ja jede Teilfolge einer konvergierten Folgen konvergiert gegen den selben Grenzwert. Ich habe für (a_n)=1/n und für (a²_n)= 1/n² genommen. Beides konvergiert ja gegen 0, wie kann ich das beweisen? :)

Comments

Die Aussage gilt nicht für die Folge $a_n=(-1)^n$.

Answer 1

$a_n^2$ konvergent heisst, $|a_n^2 -a^2 | \le \epsilon'$  für $n > n_0$ und alle $\epsilon' > 0$. Man kann als Grenzwert $a^2$ wählen, weil der Grenzwert von $a_n^2$ ja $\ge 0$ sein muss.

Jetzt gilt $|a_n^2 - a^2 | = |a_n-a| |a_n+a| \le M |a_n-a| \le |M \epsilon'$ weil jede konvergente Folge beschränkt ist. Wähle $\epsilon' = \frac{\epsilon}{M}$ dann folgt die Behauptung.