Skizziere Funktionsgraphen und Niveaumengen

Question

Aufgabe:

Punkt \( \vec{a}=(-1,2) \) und die Funktion

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(\vec{x})=\|\vec{x}-\vec{a}\| \)

a) Skizziere den Funktionsgraphen von \( f \) und skizziere für verschiedene \( c \in \mathbb{R} \) die Niveaumengen
\( N_{c}(f):=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{2} \mid f(\vec{x})=c\right\}  \) .

Die Funktion beschreibt ja den Abstand zum Punkt (x,y) mit f(x)= \( \sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2} \), nun könnte ich ja beliebige x/y Werte einsetzen um ein paar Ergebnisse rauszubekommen, jedoch weiß ich nicht, wie ich daraus den kompletten Funktionsgraph zeichnen kann.

Und das mit den Niveaumengen habe ich auch noch nicht ganz verstanden...

Wäre für jede Hilfe dankbar! Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

\(f(x,y)=z=\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}\) ist umgeschrieben:$$z^2=(x+1)^2+(y-2)^2$$ Man erkennt hier also die Struktur eines Hyperboloiden. Genauer eines einschaligen (Halb-)Hyperbolodien wegen der Wurzel. (Kann man sich einprägen, man trifft in der mehrdimensionalen Analysis oft auf Kegelschnitte). Sieht so aus:

Für die Nievaumengen nimmst du dir ein beliebiges \(c\in \mathbb{R}\), z. B. \(c=1\) und guckst, was du dabei erhältst:$$\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}=1\Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=1$$ Oh, das ist ein Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt (-1,2). Allgemein gilt für \(c\in \mathbb{R}\):$$(x+1)^2+(y-2)^2=c^2$$ Also immer einen Kreis mit Mittelpunkt (-1,2) und Radius \(c\)

Stell dir dazu vor, du würdest dir eine bestimte Höhe auf der z-Achse heraussuchen und genau auf dieser Höhe den Graphen horizontal durchschneiden. Die Schnittkurve ist dann eine Niveaumenge, die auf die x-y-Ebene projiziert wird.