Abbildungen, Gruppen, komplexe Zahlen

Question

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

Sei T := {z ∈ ℂ | |z| = 1}. Zeigen Sie, dass (T,•) eine abelsche Untergruppe von (ℂ*,•) ist.

und

Finden Sie eine Verknüpfung auf ℝ, sodass die Abbildung f: ℝ → T, f(x) = e^ix ein Gruppenhomomorphismus ist.

Vielen Dank im Voraus. LG.

Comments

Vielen Dank an @mathef! Kann mir jemand zusätzlich b) "Finden Sie eine Verknüpfung auf ℝ, sodass die Abbildung f: ℝ → T, f(x) = eix ein Gruppenhomomorphismus ist." erklären?

Answer 1

T := {z ∈ ℂ | |z| = 1}.

Abgeschlossenheit: Seien x,y ∈ T

==>  |x|=1 und |y| = 1  Dann ist auch | x*y| = 1, also abgesclossen.

assoziativ ist * in ℂ, also auch in T.

neutrales Element ist 1 = 1+0*i

invers zu z = a+bi ist ja (a-bi) / (a^2 +b^2)

wegen |z|=1 gilt a^2 +b^2 = 1 und es bleibt

z^(-1)=a-bi und das hat auch den Betrag 1

und ist somit in T. Also hat jedes z ∈ T

auch ein Inverses in T.

* ist kommutativ in C also auch in T.