Eulerdarstellung von komplexen Zahlen, Umformung

Question

Aufgabe:

(1 - √3 * i)⁴²  = (2 * e^{-i$\frac{π}{3}$} )⁴² = 2⁴²

Problem/Ansatz:

Es geht hierbei darum den ersten Term zu vereinfachen und dies ist die dargestellte Lösung, die mir jedoch nicht nachvollziehbar ist. Wie funktioniert das?

Answer 1

Aloha :)

Stell dir die Zahl als 2-dimensionalen Vektor vor. Die x-Koordinate ist der Realteil, die y-Koordinate ist der Imaginärteil.$$1-\sqrt3\,i=\binom{1}{-\sqrt3}$$Diesen Vektor kannst du jetzt in Polarkoordinaten darstellen, mit einer Entfernung $r$ vom Ursprung und einem Öffnungswinkel $\varphi$ gegenüber der Realteil-Achse:

$$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2$$$$\varphi=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{-\sqrt3}{1}\right)=-\frac{\pi}{3}$$Das bedeutet für unseren 2-dimensionalen Vektor:

$$1-\sqrt3i=\binom{1}{-\sqrt3}=\binom{2\cos(-\frac{\pi}{3})}{2\sin(-\frac{\pi}{3})}=2\cos(-\frac{\pi}{3})+i\,2\sin(-\frac{\pi}{3})$$$$\phantom{1-\sqrt3i}=2\left(\cos(-\frac{\pi}{3})+i\,\sin(-\frac{\pi}{3})\right)$$Mit der Eulerformel$$e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\,\sin\varphi$$gilt also:$$1-\sqrt3\,i=2\,e^{-i\pi/3}$$Damit ist nun:

$$(1-\sqrt3\,i)^{42}=(2e^{-i\pi/3})^{42}=2^{42}\,e^{-i\,\frac{42}{3}\pi}=2^{42}\,\underbrace{e^{-i\,14\pi}}_{=1}=2^{42}$$

Comments

Super verständlich erklärt! Danke dir!