Körperhomomorphismus, z.z. f ist injektiv. Beweis?

Question

Hallo,

kann mir jemand hier weiterhelfen:

Seien K und L Körper und f:K→L ein Körperhomomorphismus. Z.z.: f ist injektiv. (Beweis)

Vielen Dank im Voraus. LG.

Comments

Z.B. hier:

https://de.wikiversity.org/wiki/K%C3%B6rper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise_direkt/Aufgabe/L%C3%B6sung

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In dem Beispiel aus dem Link hat R die Voraussetzung, dass 0 ungleich 1 ist, wie würde man die Aufgabe rechnen, wenn R keine Voraussetzung hat?

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Gar nicht, dann ist die Aussage nämlich falsch.

In einem Ring mit Eins und mit 0=1 gilt für alle x

x = 1x = 0x = (0+0)x = 0x + 0x = 1x + 1x = x + x

Folglich gibt es nur einen solchen Ring, nämlich den Nullring (enthält nur die 0, diese übernimmt die Funktion von Null- und Einselement)

Abbildungen K -> Nullring können aber niemals injektiv sein.

Das kann man sich auch ohne irgendwelche Algebra Kenntnisse klar machen. Ein Körper hat per Definition immer mindestens 2 Elemente (in Körpern gilt immer 0≠1), der Nullring nur 1.

Für Injektionen A -> B gilt jedoch stets |A| ≤ |B|.

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass f injektiv ist...

Stichworte: abbildung,injektiv,homomorphismus

Aufgabe:

Sei f: K->L ein Körperhomomorphismus. Zeigen Sie, dass f injektiv ist.