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Mit dieser aufgabe habe ich Probleme:

Sei f : C → C mit f(z) = ¯z die komplexe Konjugation. Zeigen Sie, dass f ein Körperhomomorphismus ist.

Ich steh hier auf dem Schlauch. Wie soll man denn bei der Gleichung den Körperhomomorphismus von f zeigen? Was ist hier zu tun?
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Zu zeigen ist, dass f die Eigenschaft eines Homomorphismus erfüllt, das ist die folgende:

f(x•y) = f(x) · f(y)

Wobei • und · jeweils Verknüpfungen de Körper sind. Eigentlich ist noch zu zeigen, dass f zwischen zwei Körpern abbildet, aber ℂ ist ja ein Körper.

Da die Abbildung von ℂ nach ℂ geht, muss also homomorphismus bezüglich + und * überprüft werden.

Zu zeigen ist also:
I) f(x+y) = f(x) + f(y)

II) f(x*y) = f(x) * f(y)

 

ad I): Seien x, y ∈ C, das heißt es existieren a, b, c, d ∈ℝ mit:

x = a + ib

y = c + id

Dann gilt:

f(x+y) = f((a+ib)+(c+id)) = f(a+c+i(b+d)) = a+c-i(b+d) = (a-ib) + (c-id) = f(a+ib) + f(c+id) = f(x)+f(y)

Was zu zeigen war.

 

ad II): Seien x, y ∈ C, das heißt es existieren a, b, c, d ∈ℝ mit:

x = a + ib

y = c + id

Dann gilt:

f(x*y) = f((a+ib)*(c+id)) = f(ac-bd + i(ad+bc)) = ac-bd - i(ad+bc) = (a-ib)*(a-id) = f(a+ib)*f(a+id) = f(x)*f(y)
Was zu zeigen war.

Der vorvorletzte Schritt kann zum Beispiel noch separat durch Ausmultiplizieren von (a-ib)*(a-id) gezeigt werden.

 

Damit sind beide Bedingungen erfüllt, f ist also ein Körperhomomorphismus.
von 10 k
Danke für die wunderbare antwort! Eine frage hätte ich noch: was bedeuten die variablen ib ,id und i ? Zb bei "x = a + ib" ?

ℂ ist der Körper der komplexen Zahlen, also die Menge der Zahlen z = a+i*b mit a, b ∈ ℝ und i2 = -1.

Ich dachte, das wäre bekannt? Die komplex konjugierte von z, die man auch z* nennt, erhält man übrigens indem man den Imaginärteil von z mit einem negativen Vorzeichen versieht, d.h:

z = a+ib

z* = a-ib

Obige Aufgabe verstehe ich und kann ich selbst so prüfen bzw. beweisen.

Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, inwiefern eine solche Funktion durch die Angabe von "über IR" oder "über IQ" eingeschränkt wird.


Ich habe also die folgende Aufgabe:

Sei f : C → C mit f(z) = ¯z die komplexe Konjugation. Zeigen Sie, dass f ein Körperhomomorphismus ist.


Einmal mit dem Zusatz "über ℝ" und einmal mit "über ℚ" - kann mir das vielleicht wer in einfachen Worten erklären? Vielen Dank im Voraus für eure Bemühungen und liebe Grüsse

Oli

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