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Mit dieser aufgabe habe ich Probleme:

Sei f : C → C mit f(z) = ¯z die komplexe Konjugation. Zeigen Sie, dass f ein Körperhomomorphismus ist.

Ich steh hier auf dem Schlauch. Wie soll man denn bei der Gleichung den Körperhomomorphismus von f zeigen? Was ist hier zu tun?
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1 Antwort

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Zu zeigen ist, dass f die Eigenschaft eines Homomorphismus erfüllt, das ist die folgende:

f(x•y) = f(x) · f(y)

Wobei • und · jeweils Verknüpfungen de Körper sind. Eigentlich ist noch zu zeigen, dass f zwischen zwei Körpern abbildet, aber ℂ ist ja ein Körper.

Da die Abbildung von ℂ nach ℂ geht, muss also homomorphismus bezüglich + und * überprüft werden.

Zu zeigen ist also:
I) f(x+y) = f(x) + f(y)

II) f(x*y) = f(x) * f(y)

 

ad I): Seien x, y ∈ C, das heißt es existieren a, b, c, d ∈ℝ mit:

x = a + ib

y = c + id

Dann gilt:

f(x+y) = f((a+ib)+(c+id)) = f(a+c+i(b+d)) = a+c-i(b+d) = (a-ib) + (c-id) = f(a+ib) + f(c+id) = f(x)+f(y)

Was zu zeigen war.

 

ad II): Seien x, y ∈ C, das heißt es existieren a, b, c, d ∈ℝ mit:

x = a + ib

y = c + id

Dann gilt:

f(x*y) = f((a+ib)*(c+id)) = f(ac-bd + i(ad+bc)) = ac-bd - i(ad+bc) = (a-ib)*(a-id) = f(a+ib)*f(a+id) = f(x)*f(y)
Was zu zeigen war.

Der vorvorletzte Schritt kann zum Beispiel noch separat durch Ausmultiplizieren von (a-ib)*(a-id) gezeigt werden.

 

Damit sind beide Bedingungen erfüllt, f ist also ein Körperhomomorphismus.
Beantwortet von 10 k
Danke für die wunderbare antwort! Eine frage hätte ich noch: was bedeuten die variablen ib ,id und i ? Zb bei "x = a + ib" ?

ℂ ist der Körper der komplexen Zahlen, also die Menge der Zahlen z = a+i*b mit a, b ∈ ℝ und i2 = -1.

Ich dachte, das wäre bekannt? Die komplex konjugierte von z, die man auch z* nennt, erhält man übrigens indem man den Imaginärteil von z mit einem negativen Vorzeichen versieht, d.h:

z = a+ib

z* = a-ib

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