Ich fange mal mit der a an. Dies kann leicht via Induktion gezeigt werden, ist meines Wissens nach ein absoluter Standard Beweis ohne, dass man "erweitertes Wissen" benötigt.
Für \(n \in \mathbb{N}, n \geq 1\) gilt \(\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\).
Induktionsannahme:
$$n = 1$$
$$\sum_{k=1}^{1} 1^3 = 1 = \frac{1^2(1+1)^2}{4} = 1$$
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges aber festes \(n \in \mathbb{N}\) mit \(n \geq 1\) gilt die Behauptung!
Induktionsschritt:
$$n \rightarrow n + 1:$$
$$\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3 \overset{\mathrm{\text{nach IV.}}}{=} \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 $$
Den letzten Term erweitern und Umformen, dann kommt man auf:
$$\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$$
Und dies:
$$\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$$
sollte ja gezeigt werden!
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PS: Ich beobachte deine Fragen mit regem Interesse! Aus welchem Studiengang sind die Aufgaben?
