Konverganzradius und Intervall - ob es sich um [...] oder [...) oder (...] oder (...) handelt?

Question

Aufgabe:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{n/2^n*(x+2)^n}$

Konverganzradius und Intervall bestimmen.

Problem/Ansatz:

Also ich habe nur ein ganz kleines Problem, nämlich dass ich nicht weiß wie ich die Randpunkte berechne. Ich habe für den Radius, R = 2 raus der Entwicklungspunkt ist -2 also ist dass Intervall von -4 bis 0. Meine frage was muss ich nun machen dass ich weiß ob es sich um [...] oder [...) oder (...] oder (...) handelt? Da stehe ich auf dem schlauch, was muss ich wo einsetzen?

Vielen dank.

Gruß Mehmet

Answer 1

Ich habe für den Radius, R = 2 raus der Entwicklungspunkt ist -2 also ist dass Intervall von -4 bis 0.

Richtig!

Meine frage was muss ich nun machen dass ich weiß ob es sich um [...] oder [...) oder (...] oder (...) handelt?

Du musst jetzt jeweils die Intervallgrenzen einsetzen und schauen, ob die Reihe dann konvergiert:$$x=-4 \, : \, \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^n}(-4+2)^n=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^n}\cdot (-2)^n=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nn$$ Konvergiert nicht nach dem Leibniz-Kriterium!

Schau mal, ob die Reihe für $x=0$ konvergiert/divergiert.

Wenn die Reihe für einen Randwert konvergiert, darfst du diesen in das Konvergenzintervall aufnehmen.

Comments

Vielen dank. dass ist sehr hilfreich. Perfekt ich habe dass nun verstanden.

Ich habe rausbekommen für x = 0

x = 0 : $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{n/2^n*(0+2)^n}$ = $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{n/2^n*(2)^n}$ = n → divergiert.

Also müsste ja die Lösung sein: (-4,0)?

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Jap, genau. So ist es.