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Bestimmen Sie für k ∈ N den Konvergenzradiusder reellen Potenzreihe ∞∑n=1 xn / nk  und diskutieren Sie in Abhängigkeit von k das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzintervalls.

Ich brauch bei dieser Aufgabe Hilfe.

von

1 Antwort

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Du kannst hier den Quotiententest verwenden: Eine Reihe ist konvergent, wenn für fast alle n für die Summandenfolge gilt:

|an+1/an| ≤ q < 1

Bilde den Quotienten:

|(xn+1/(n+1)k)/(xn/nk)| = |x| * |nk/(n+1)kn |x|

Die Reihe ist also für |x|<1 konvergent.

Am Rand des Konvergenzintervalls:

Wähle erstmal x=-1, das ist nämlich leichter. Zu untersuchen ist nun die Konvergenz der Folge:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ^ { k } } $$

Wegen dem (-1)n ist die Reihe nach dem Leibnizkriterium konvergent, wenn 1/nk eine Nullfolge ist: das ist sie für k≥1, also ist die Reihe für x=-1 und k≥1konvergent.

Betrachte jetzt x=1: Zu untersuchen ist

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { k } } $$

Diese Reihe ist divergent für k=0,1 und konvergent für k=2 (das habt ihr vermutlich schon bewiesen?)

Für k>2 lässt sich die entstehende Reihe nach dem Majoranten-Kriterium durch die Reihe mit k=2 abschätzen, ist also auch konvergent.

von 10 k

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