Aufgabe:
Seien
$$V=\mathbb{R^4}$$ $$ W = < \begin{pmatrix} 1\\0\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\3\\5 \end{pmatrix}>$$
$$U=< \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\2\\5 \end{pmatrix}>$$
$$M=< \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\0\\5\\4 \end{pmatrix}> $$
, wobei W, U, M Untervektorräume von V sind. Bestimme eine Basis für folgende Untervektorräume:
$$ 1.\ U\cap W \\ 2.\ M\cap W \\ 3.\ U+W \\ 4.\ M+W $$
Problem/Ansatz: Also zunächst einmal gilt ja per Definition folgendes :
$$ U\cap W =\left\{ v\in V: v\in U\wedge v\in W\right\}, \ \ U+W=\left\{v=u+w| u\in U,\ w\in W \right\} $$
Wie komme ich jetzt hier auf die Basis ? Normalerweise würde man die Basis eines Untervektorraums ja erhalten, indem man die Vektoren des Unterraums spaltenweise in eine Matrix schreibe und diese in Diagonalform bringe, also hier für U:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2\\1 & 1\\0 & 2\\3 & 5 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 2\\0 & -1\\0 & 0\\0 & 0 \end{pmatrix} $$
Wie aber bekomme ich die Basis, wenn es um den Schnitt bzw. die Summe von Unterräumen geht ? Wär cool, wenn da jemand ein allgemein gültiges Vorgehen wüsste.
