Wie zeige ich (b) falls z=x+iy

Question

Aufgabe:

Wie zeige ich (b),ich weiß leider gar nicht wie ich anfangen soll :/

Problem/Ansatz:

(b) \( \frac{1}{\sqrt{2}}(|x|+|y|) \leq|z| \leq|x|+|y|, \) falls \( z=x+i y \) mit \( x, y \in \mathbb{R} \).

Answer 1

Aloha :)

Für zwei Zahlen \(a,b\in\mathbb R\) gilt allgmein:$$0\le(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\implies2ab=a^2+b^2\implies ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\quad(*)$$Diesen Zusammenhang brauchen wir für die folgende Ungleichungskette:

$$\frac{|x|+|y|}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{(|x|+|y|)^2}{(\sqrt2)^2}}=\sqrt{\frac{|x|^2+2|xy|+|y|^2}{2}}=\sqrt{\frac{|x|^2+|y|^2}{2}+|xy|}$$$$\stackrel{(*)}{\le}\sqrt{\frac{|x|^2+|y|^2}{2}+\frac{|x|^2+|y|^2}{2}}=\sqrt{|x|^2+|y|^2}=|z|=\sqrt{|x|^2+|y|^2}$$$$\le\sqrt{|x|^2+2|xy|+|y|^2}=\sqrt{(|x|+|y|)^2}=|x|+|y|$$

Comments

Vielen Dank, super erklärt