Ich freue mich über Hinweise zu folgender Frage:Aufgabe:
Ich habe drei Gruppen:(G 1 ,∗ 1 ), (G 2 ,∗ 2 ) und (H,◊)Und zwei Gruppenhomomorphismen ψ 1 : H → G 1 und ψ 2 : H → G 2zu zeigen ist: Es gibt genau einen Gruppenhomomorphismus χ : H → G 1 × G 2 mit ϕ 1 ◦χ = ψ 1 und ϕ 2 ◦χ = ψ 2 .
Problem/Ansatz:
Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass es höchstens einen solchen Gruppenhomomoprphismus gibt und, dann am besten eine passende Funktion angebe. Aber obwohl ich die Definition von Gruppenhomomorphismus kenne, habe ich keine Idee, was ich genau zeigen soll.
Was sind ϕ1 und ϕ2?
ϕ1(g1,g2) := g1
ϕ2(g1,g2) := g2
Versuch's mal mit χ(h)≔(ψ1(h),ψ2(h))\chi\left(h\right) \coloneqq\left(\psi_{1}\left(h\right),\psi_{2}\left(h\right)\right)χ(h) : =(ψ1(h),ψ2(h)).
Vielen Dank für die Antwort. Bedeutet das dann, dass ich wie folgt rechnen kann?Wobei die Verknüpfungen in den einzelnen Gruppen folgendermaßen notiert werden:H: ◊ , G1:*1, G2:*2, G1 x G 2: *
Ich meinte natürlich
χ(h)=(ψ1(h),ψ2(h))\begin{aligned} \chi\left(h\right) & =\left(\psi_{1}\left(h\right),\psi_{2}\left(h\right)\right) \end{aligned}χ(h)=(ψ1(h),ψ2(h))
Damit ist
χ(h1⋄h2)=(ψ1(h1⋄h2),ψ2(h1⋄h2))=(ψ1(h1)∗1ψ1(h2),ψ2(h1)∗2ψ2(h2))=(ψ1(h1),ψ2(h1))∗(ψ1(h2),ψ2(h2))=χ(h1)∗χ(h2)\begin{aligned} \chi\left(h_{1}\diamond h_{2}\right) & =\left(\psi_{1}\left(h_{1}\diamond h_{2}\right),\psi_{2}\left(h_{1}\diamond h_{2}\right)\right)\\ & =\left(\psi_{1}\left(h_{1}\right)*_{1}\psi_{1}\left(h_{2}\right),\psi_{2}\left(h_{1}\right)*_{2}\psi_{2}\left(h_{2}\right)\right)\\ & =\left(\psi_{1}\left(h_{1}\right),\psi_{2}\left(h_{1}\right)\right)*\left(\psi_{1}\left(h_{2}\right),\psi_{2}\left(h_{2}\right)\right)\\ & =\chi\left(h_{1}\right)*\chi\left(h_{2}\right) \end{aligned}χ(h1⋄h2)=(ψ1(h1⋄h2),ψ2(h1⋄h2))=(ψ1(h1)∗1ψ1(h2),ψ2(h1)∗2ψ2(h2))=(ψ1(h1),ψ2(h1))∗(ψ1(h2),ψ2(h2))=χ(h1)∗χ(h2)
Vielen Dank!!!
Mir fällt noch ein wenig schwer nachzuvollziehen wieso
χ(h1⋄h2)=χ(h1)∗χ(h2)\begin{aligned} \chi\left(h_{1}\diamond h_{2}\right) &= \chi\left(h_{1}\right)*\chi\left(h_{2}\right) \end{aligned}χ(h1⋄h2)=χ(h1)∗χ(h2)
die zu beweisende Bedingung erüllt.
In wie fern beweist dies, dass es maximal einen Gruppenhomomorphismus χ\chiχ gibt der die Bedingungen erfüllt?
Das ist schon eine Weile her. Soweit ich mich erinnere, ist damit gezeigt, dass die Funktion ein Gruppenhomomorphismus gibt und man muss zeigen dass es keinen zweiten gibt.
Aber alleinig die Präsenz von einer Funktion schließt doch aber nicht aus, dass es keine zweite gibt. Und außerdem wurde Φ \Phi Φ nicht ein mal verwendet?
Das ist richtig. Deshalb hat Mathe0815 ja geschrieben "und man muss zeigen dass es keinen zweiten gibt".
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos