+1 Punkt
183 Aufrufe

Bild Mathematik 


Ich komme bei diesen Aufgaben einfach auf keinen grünen Zweig... kann mir jemand zeigen wie man auf die jew. Lösung kommt?? Bzw. wie man untersucht ob es ein Unterraum ist..


Danke!:)

von

HM2 beim Pöschel ... nich

Mein Name ist Hase ich weiß von nichts;)

1 Antwort

+3 Daumen

Unterraum:  U muss gegenüber den beiden Operationen abgeschlossen sein

und den 0-Vektor enthalten und zu jedem Vektor auch sein Negativ.

i) ist nicht abgeschlossen bzgl. Addition, denn die Summe

zweier divergenter Folgen muss nicht divergent sein.

Betrachte  (-1)n und  - ( -1)n .

ii) wenn an2 eine Nullfolge ist, dann ist an auch eine.  Also ist das der

Unterraum der Nullfolgen.   Summe zweier Nullfolgen ist eine und

wenn man alle Glieder eine Nullfolge mit dem gleichen x aus IR

multipliziert, hat man wieder eine.

Und das neutrale Element ist die konstante Folge mit allen

Folgengliedern 0 und die Inverse zu der Folge mit den Gliedern  an

ist die mit den Gliedern   -an .

von 152 k

 

Kann ich dann bei der iii) sagen da F ein ℝ-Vektorraum ist und da es der Betrag von aist, und da die Summe erst bei 1 beginnt, der Vektorraum also nicht die leere Menge sein kann? Oder wie mache ich da die 3 Kriterien für unterräume? 

Bei iii) ist die Menge sicher nicht leer, da z.B. die Folge, die aus lauter 0en

besteht dazugehört.

und:  weil an und -an den gleichen Betrag ( und nur auf die Beträge kommt es ja hier

an) haben, ist zu jedem auch das inverse mit in F3.
 
und wenn bei zwei  Folgen die Summe der |an|  endlich ist, dann ist es bei der

Summe der Folgen auch so.

Wie kann man das mathematisch korrekt formulieren?

Die Folge mit an=0 für alle n ∈ ℕ erfüllt die Bedingung

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}< {\infty}$$

weil dann die Summe gleich 0 ist, also ist diese


Folge ein Element von F3 , und sie ist offenbar auch das


neutrale El. der Addition.


Da für alle x ∈ ℝ  auch |x| = | -x | gilt, ist mit jeder Folge


an  ∈ F3 auch ihr negatives  in F3 ;  denn es ist

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}= \sum_{n=0}^{\infty}{|{ -a}_{ n}|}$$

also ist mit der Endlichkeit der ersten Summe auch die zweite endlich.

Bleibt zu zeigen:   Abgeschlossenheit gegenüber S-Multiplikation

und Addition. 

1. Sei also ( an ) n∈ℕ  ∈ F3 und   x ∈ ℝ , dann gilt

x * ( an ) n∈ℕ   ist die Folge mit den den Folgengliedern x*an  

und  es gilt $$  \sum_{n=0}^{\infty}{|x*{ a}_{ n}|}= \sum_{n=0}^{\infty}{|x||{ a}_{ n}|}= |x|*\sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}$$

also ist mit $$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}< {\infty} $$ auch $$  \sum_{n=0}^{\infty}{|x*{ a}_{ n}|} < {\infty} . $$

2. Seien  ( an ) n∈ℕ  ∈ F3 und    ( bn ) n∈ℕ  ∈ F3

dann ist die Summe der Folgen die Folge mit den Gliedern

an + bn  und um zu zeigen, dass diese Folge in F3 liegt , muss geprüft werden

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n} + { b}_{ n}|}< {\infty} $$


wegen der Dreiecksungleichung gilt | an + bn | ≤ |an| + | bn |  , also auch

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n} + { b}_{ n}|}  ≤  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|} +   \sum_{n=0}^{\infty}{| { b}_{ n}|}< {\infty} $$

und damit ist alles bewiesen.









Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...