Zeigen Sie: α ist genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn G abelsch ist.

Question

Sei (G,*) eine Gruppe und sei α : G -> G folgende Abbildung: Für alle g ∈ G sei g^α = g · g.

Zeigen Sie: α ist genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn G abelsch ist.

Answer 1

Für alle g ∈ G sei α(g) = g * g.

Damit α ein Gruppenhomorphismus ist,

muss gelten für alle g, h aus G   α(g*h)= α(g)* α(h)

<=>  ∀g,h∈ G  (g*h)*(g*h) = (g*g)*(h*h) wegen assoziativ

<=>  ∀g,h∈ G (g*h*g)*h) = (g*g*h)*h  | von rechts *h^(-1)

<=> ∀g,h∈ G g*h*g= g*g*h | von links *g^(-1)

<=>  ∀g,h∈ G h*g= g*h

<=> G kommutativ                    q.e.d.