Berechnen sie durch Bestimmung der Nullstelle der Funktion f(x)=x3 -11 nach dem Newtonschen Verfahren

Question

Aufgabe: Berechnen sie \( \sqrt[3]{11} \) durch Bestimmung der Nullstelle der Funktion f(x)=x³ -11 nach dem Newtonschen Verfahren, ausgehend vom ersten Näherungswert x₀ =2.

Problem/Ansatz: Die Formel lautet x_n+1  =x_n - \( \frac{f(x)}{f'(x)} \)

Man setzt   den  x₀ Start -Wert in f(x) und deren Ableitung f'(x) ein, bekommt dann einen Wert für x_n+1 . Diesen neuen Wert dann wieder in die Formel einsetzen und das wiederholt man dann einfach ein paar mal bis dann genau  \( \sqrt[3]{11} \) rauskommt?

Answer 1

bis dann genau  \( \sqrt[3]{11} \) rauskommt?

Dafür müsstest du das Verfahren unendlich oft anwenden. Da kommt nie genau \( \sqrt[3]{11} \) raus.

Du kannst aber stoppen, wenn dein verwendetes Rechenhilfsmittel bei zwei aufeinanderfolgenden Ergebnissen den gleichen Näherungswert anzeigt (oder wenn sich auf den ersten Nachkommastellen keine Änderung mehr ergibt und du mit dieser Genauigkeit zufrieden bist).

Answer 2

f(x) = x^3 - 11

f'(x) = 3·x^2

xneu = x - (x^3 - 11)/(3·x^2)

x1 = 2 - (2^3 - 11)/(3·2^2) = 2.25

x2 = 2.25 - (2.25^3 - 11)/(3·2.25^2) = 2.224279835

x3 = 2.224279835 - (2.224279835^3 - 11)/(3·2.224279835^2) = 2.223980130

x4 = 2.223980130 - (2.223980130^3 - 11)/(3·2.223980130^2) = 2.223980130

Answer 3

Hallo

ja, nur dass man nie die Wurzel genau rauskriegt, aber immer mehr gültige Stellen etwa wenn sich xn und xn+1 nur noch ab der 6 ten Stelle nach den Komma unterscheiden, sind die ersten 5 Stellen richtig

Gruß lul