Zeigen das sie Zahlenfolge durch 2 beschränkt ist.

Question

Aufgabe:

b_n= (1+1/n)ⁿ⁺¹

Problem/Ansatz:

Zeigen das sie Zahlenfolge durch 2 beschränkt ist.

Answer 1

Aloha :)

Das folgt sofort aus der Bernoulli'schen Ungleichung:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\ge1+\frac{n+1}{n}=1+1+\frac{1}{n}>2$$

Oder aus dem binomischen Lehrsatz:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\cdot1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{k}$$$$\quad=\underbrace{\binom{n+1}{0}\cdot1^n\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^0}_{=1}+\underbrace{\binom{n+1}{1}}_{=(n+1)}\cdot\underbrace{1^{n-1}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^1}_{=\frac{1}{n}}+\underbrace{\sum\limits_{k=2}^{n+1}\binom{n+1}{k}\cdot1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{k}}_{\ge0}$$$$\quad\ge1+\frac{n+1}{n}>2$$

Comments

Respekt. Du hast auf eine fehlerhaft gestellte Frage richtig geantwortet.

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Vielen Dank! Lebensretter für heute Abend :)

Answer 2

Zeigen das sie Zahlenfolge durch 2 beschränkt ist.

Sie ist nicht durch 2 beschränkt. Sie ist durch 2 nach unten beschränkt.

(Wenn sie durch 2 beschränkt wäre, müsste |b_n|≤2 für alle n gelten.)