Ich benötige Hilfe bei diese Aufgabe Berechnen Sie n∑k=0 k(k+ 1)

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe folgende Aufgabe bekommen.

(a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: n∑k=0 k=n*(n+ 1)/2

(b)Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: n∑k=0 k^2=n*(n+ 1)*(2n+ 1)/6

(c)Berechnen Sie n∑k=0 k(k+ 1) zunächst direkt aus (a) und (b)

(d)Beweisen Sie die in (c) erhaltene Summenformel dann außerdem durch vollständige Induktion.

Problem/Ansatz:

a) und b) habe ich bereits bewiesen. Verstehe aber die Aufgabenstellung von c) gar nicht. Über einen ansatz wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Du hast doch Ausdrücke für \( \sum_{k=0}^n k \) und \( \sum_{k=0}^n k^2 \) bewiesen. In (c) musst Du $$ \sum_{k=0}^n k(k+1) = \sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n k^2  $$ beweisen.

Answer 2

a)

$$\sum_{k=0}^n k=n(n+1)/2$$

Ind. Anfang

1=1*2/2

Ind. Annahme

$$\sum_{k=0}^n k =n(n+1)/2$$$$\sum_{k=0}^{n+1} k =n(n+1)/2+n+1=$$$$n(n+1)/2+(n+1)*2/2=$$$$(n+1)(n+2)/2$$Ind. Schluss

b)

$$\sum_{k=0}^n k^2=n*(n+ 1)*(2n+ 1)/6$$

Ind.Anfang

1=1*2*3/6

Ind Annahme

$$\sum_{k=0}^n k^2=$$$$\sum_{k=0}^{n+1} k^2=$$$$n*(n+ 1)*(2n+ 1)/6+(n+1)^2=$$$$n*(n+ 1)*(2n+ 1)/6+(n+1)*6*(n+1)/6=$$$$(n+ 1)*(n*(2n+ 1)+6*(n+1))/6=$$$$(n+ 1)*(2n^2+ 7n+6)/6=$$$$(n+ 1)*(n+2)(2n+3)/6=$$$$(n+ 1)*((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6$$Ind. Schluss

c)

$$\sum_{k=0}^n k(k+1) =$$$$\sum_{k=0}^n k^2+k =$$$$\sum_{k=0}^n k^2+\sum_{k=0}^n k=$$$$n*(n+ 1)*(2n+ 1)/6 +n(n+1)/2=$$$$n*(n+ 1)*(2n+ 1)/6 +3n(n+1)/6=$$$$n*(n+ 1)*(2n+ 4)/6=$$$$n*(n+ 1)*(n+ 2)/3$$

d)

$$\sum_{k=0}^n k(k+1) =$$$$n*(n+ 1)*(n+ 2)/3$$

Ind. Anfang

1*2=1*2*3/3

Ind. Annahme

$$\sum_{k=0}^n k(k+1) =$$$$n*(n+ 1)*(n+ 2)/3$$$$\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1) =$$$$n*(n+ 1)*(n+ 2)/3+(n+1)*(n+2)=$$$$n*(n+ 1)*(n+ 2)/3+(n+1)*(n+2)*3/3=$$$$(n+1)*(n+2)*(n+3)/3=$$$$(n+1)*((n+1)+1)*((n+1)+2)/3$$

Ind. Schluss