Hesse Normalform menge bestimmen

Question

Aufgabe:Liebes Mathematikforum,

wie stimmt man nochmal die Schnittmenge von dieser Aufgabe.

E1:(0,1,1)+t(-2,1,1)+s(3,0,-2)

und

E2:x1+x2+2x3=6

Answer 1

Aloha :)

Aus der Gleichung \(E_1\) entnimmst du:$$x_1=0-2t+3s=-2t+3s$$$$x_2=1+t+0s=1+t$$$$x_3=1+t-2s$$

Das setzen wir in die Gleichung \(E_2\) ein:$$6=x_1+x_2+2x_3=(-2t+3s)+(1+t)+2(1+t-2s)=t-s+3\implies$$$$6=t-s+3\implies t-s=3\implies t=3+s$$Das können wir nun wieder in die Gleichung für \(E_1\) einsetzen, um die Schnittgerade \(g\) der beiden Ebenen zu finden:

$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+(3+s)\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}$$$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6\\3\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}$$$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}-6\\4\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

Comments

super, vielen lieben dank.

eine frage hätte ich da aber noch;

wie bestimmt man die Schnittmenge bei:

E1=(0,1,1+t(-2,1,1)+s(3,0,-2)

und der geraden G=

G=(3,1,-1)+t(1,1,-1)

muss ich zunächst die gerade in die E1 einsetzen ich komm da nicht ganz weiter weil es sich hier um Vektoren handelt und nicht um x1x2x3 was man ja sonst einsetzen könnte einfach wie ist es denn bei Vektoren?

vielen lieben dank im voraus.

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Die kannst du direkt Gleichsetzen. Dann bekommst du 3 Gleichungen für 3 Unbekannte. Wichtig dabei ist, dass du den Laufparameter \(t\) der Geraden vorher umbenennst, sonst kommst du durcheinander mit dem \(t\) aus der Ebene.

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also sollte ich dann das so ähnlich wie bei der vorherigen aufgäbe bearbeiten und dann alle 3 Gleichungen in G einsetzen?

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Nicht ganz... ich meinte das so:

$$\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$$$t\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}-u\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$$$t\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}$$

Das ist ein lineares Gleichungssystem für \(t\), \(s\) und \(u\).

Kriegst du das gelöst? Falls nicht, bitte einfach nochmal nachfragen...

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es wäre so lieb, wenn du mir das eventuell zeigen könntest. ich möchte wirklich nicht stören :D dankesehr

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$$\begin{array}{rrrrrl}t & s & u & = &&\text{Aktion}\\\hline-2 & 3 & -1 & 3 && +2\cdot\text{Zeile 2}\\1 & 0 & -1 & 0 &&\\ 1 & -2 & 1 & -2&&-\text{Zeile 2}\\\hline0 & 3 & -3 & 3 && +\text{Zeile 3}\\1 & 0 & -1 & 0 &&\\ 0 & -2 & 2 & -2&&\\\hline0 & 1 & -1 & 1 && \\1 & 0 & -1 & 0 &&\\ 0 & -2 & 2 & -2&&+2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & -1 & 1 && \\1 & 0 & -1 & 0 &&\\ 0 & 0 & 0 & 0&&\\\hline\hline\end{array}$$

Wir lesen daraus ab:$$s-u=1\quad;\quad t-u=0\quad\implies$$$$t=u\quad;\quad s=1+u=1+t$$Wir setzen \(s=1+t\) in die Ebenengleichung ein:

$$\phantom{=}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+(1+t)\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

Das ist genau die Geradengleihung für die Gerade \(g\). Das heißt, die Gerade \(g\) liegt vollständig in der Ebene \(E\).

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oh ich muss wie ich sehen kann, eine Gleichung aufstellen. nachdem ich das gemacht habe, muss ich die 0 diagonal setzen also solange bis die diagonale 0 ist und dann das ausgerechnete s was ich vorher aus der Tabelle ablesen kann am ende in die Nebengleichung einsetzen.

also jetzt habe ich es wirklich schritt für schritt verstanden ich werde es mal direkt üben. vielen dank nochmal für alles.

schönen Abend noch

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Dann hat sich die Arbeit wenigstens gelohnt ;)

Dir auch noch einen schönen Abend.