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Aufgabe:

Bestimmen Sie die die Ebene der Hesse-Normalform die A(1,1,1),B(0,-1,1) und D(4,-2,-2) enthält


Problem/Ansatz:

A(1,1,1) B(0,-1,1) D(4,-2,-2)

1. Zuerst habe ich es in die Parameterform gebracht

(1,1,1) als Stützvektor, B und C als Spannvektoren

--> (x1,x2,x3) =(1,1,1) + µ(0,-1,1)+λ(4,-2,-2)


2. Die Normalform hat die Form <n|x>=d .



Daher erstmal Normalenvektor berechnet.

Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:

(0,-1,1)x(4,-2,-2)= (-1⋅(-2)-1⋅(-2) ),(1⋅4-0⋅(-2)),(0⋅(-2)-(-1)⋅4) = (4,4,4) bzw. (1,1,1)

Frage kann ich den Vektor (4,4,4) auch als (1,1,1) nehmen, weil er ja nur ein Vielfaches ist????

Normiert: \( \frac{1}{√3} \)(1,1,1)


Es ergibt sich die Form: \( \frac{1}{√3} \)x1+\( \frac{1}{√3} \)x2+\( \frac{1}{√3} \)x3=d

en Punkt P(1,1,1)T eingesetzt ergibt: d=\( \frac{3}{√3} \)



kann das so Stimmen?



Zusatz:

Im nächsten Schritt muss ich einen Punkt C = (c1, c2, c3)T ∈ R3 mit c1 > 0 auf der Geraden g so bestimmen, dass das Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C den Flächeninhalt \( \frac{√63}{2} \)  hat.


Die Gerade g geht durch den Ursprung und ist senkrecht zur Ebene E  \( \frac{2}{√6} \)x1+\( \frac{-1}{√6} \)x2+\( \frac{-1}{√6} \)x3=0


Hier soll das Kreuzprodukt eine Rolle spielen, das ein Parallelogramm erzeugt. Ich bin mit diesem Tipp trotz verschiedenen Ansätzen nicht voran gekommen. Wie genau geht man da vor?

|axb|=|a| |b| sin(<Winkel)(a,b)


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1 Antwort

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Beste Antwort
(1,1,1) als Stützvektor, B und C als Spannvektoren

Es ist ok das du A als Stützvektor nimmst. Die Punkte B und C sind aber keine Spannvektoren, sondern Ortsvektoren.

Du brauchst als Spannvektoren z.B. AB und AC also die Vektoren die vom Stützvektor zu den beiden anderen Punkten weisen

[-1, -2, 0] ⨯ [3, -3, -3] = 3·[2, -1, 3]

E: (X - [1, 1, 1])·[2, -1, 3]/√14 = 0

Ich kenne das so das man in der Normalenform die Vektoren unausmultipliziert stehen lässt.

Avatar von 477 k 🚀

danke für den Hinweis! Das hab ich total übersehen.

Muss man den Normalenvektor nicht normieren? Oder wann macht man das?

Hier hätte ich \( \frac{1}{√126} \)(6,-3,9). Das scheint mir aber komisch

sorry, hab das übersehen. Du hast ihn natürlich schon normiert. Vielen Dank nochmal:)

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