Zeigen Sie, dass die Menge ℕ3 abzählbar ist.

Question 1

Zeigen Sie, dass die Menge ℕ³abzählbar ist.

Question 2

Habt ihr irgendwelche Sätze oder Beispiele über Abzählbarkeit bewiesen

oder nur ne Definition gemacht ?

Question 3

Ich habe nur Definition und ein Beweis durch Abzählen für "Die Menge aller totalen FunktionenN→{0, 1} ist nicht abzählbar."

Question 4

Ich habe nur Definition

Dann stimmt natürlich der Satz "ℕ² ist bekanntermaßen wegen Cantors erstem Diagonalargument abzählbar" aus meiner Antwort nicht mehr.

Stattdessen ist (a,b,c) ↦ 2^a·3^b·5^c eine injektive Abbildung von ℕ³ nach ℕ.

Question 5

Vielen Dank!

Question 6

Kannst du bitte noch erklären, warum deine Abbildung injektiv ist?
Das ist mir noch nicht wirklich klar.

Question 7

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.

Wenn zwei Zahlen die gleiche Primfaktorzerlegung

haben, etwa

2^a*3^b *5^c = 2^x * 3^y * 5^z

dann stimmen die entsprechenden Exponenten

überein, also (a,b,c)=(x,y,z).

Question 8

Verstehe
Vielen Dank für die Erlärung

Question 9

ℕ² ist bekanntermaßen wegen Cantors erstem Diagonalargument abzählbar.

Es ist ℕ³ isomorph zu ℕ² × ℕ. Also ist auch ℕ³ wegen Cantors erstem Diagonalargument abzählbar.

Question 10

Kann ich dieses Argument auch für " ∪_i∈_ℕℕ^{3 " nutzen?}

Question 11

Ja, weil ∪_i∈ℕ ℕ³ = ℕ³ ist.

Question 12

ups Schreibfehler, ∪_i∈ℕ ℕⁱ

Question 13

Mit Cantors erstem Diagonalargument kann man zeigen, dass jede Vereinigung von abzählbar vielen abzählbar großen Mengen abzählbar ist.

Question 14

wir haben es noch nicht gelernt, Gibt es einen anderen Weg? Btw vielen Dank für diene Antworten!

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