Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

Question

Aufgabe:

Ein Ackerbau wird mit x1 Einheiten Naturdünger und mit x2 Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:

E=f(x1,x2)=40⋅ln(x1)+32⋅ln(x2).
Der Düngemitteleinsatz von derzeit 2.5 Einheiten Naturdünger und 2 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass 3.3% mehr Naturdünger und 8.1% weniger Kunstdünger eingesetzt werden.

a. Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.
b. Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir die Musterlösungen zu dieser Aufgabe angesehen und auch versucht zu lösen, nur leider komme ich auf ein falsches Ergebnis.

Kann mir bitte jemand eine Schritt für Schritt Erklärung geben, damit ich die Aufgabe verstehe..

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Ich verwende im Folgenden $x$ und $y$ anstelle von $x_1$ und $x_2$. Das ist etwas übersichtlicher. Das totale Differential der Ertragsfunktion$$E(x,y)=40\ln x+32\ln y$$kannst du wie folgt berechnen:

$$dE=\frac{\partial E}{\partial x}\,dx+\frac{\partial E}{\partial y}\,dy=\frac{40}{x}\,dx+\frac{32}{y}\,dy$$

Nun ändert sich $x$ von $2,5$ um $dx=\frac{3,3}{100}\cdot2,5=0,0825$ auf $2,5825$.

$y$ ändert sich von $2$ um $dy=-\frac{8,1}{100}\cdot2=-0,162$ auf $1,838$

a) Approximation:

$$dE=\frac{40}{2,5}\cdot0,0825+\frac{32}{2}\cdot(-0,162)=-1,272$$

b) Exakte Veränderung:

$$\Delta E=E(2,5825|1,838)-E(2,5|2)=57,428-58,832=-1,404$$

Comments

Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung!! :))