Zeige, dass die Menge der Häufungspunkte einer Folge abgeschlossen ist.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Menge der Häufungspunkte einer Folge {bn}n∈N ⊂
R in R abgeschlossen ist.

Answer 1

Hallo,

Sei \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine konvergente Folge in \(\mathbb{R}\). Da die Folge konvergiert, gibt es zu jedem \(\epsilon >0\) eine Teilfolge \((b_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}\) mit \(\limsup_{k \to \infty} b_{n_k} = b_0\). Angenommen \(b_0 \notin \mathbb{R}\), dann gilt

\(\|b_n-b_0\|_{\infty}\leq \|b_n-b_{n_k}\|_{\infty}+\|b_{n_k}-b_0\|_{\infty}\)

...

So und ab hier sollte sich leicht der Widerspruch ersehen lassen. Den Rest überlasse ich also dir