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Aufgabe:

M:={1/m + i/n| n,m aus IN} auf HP, offen, abgeschlossen untersuchen


Problem/Ansatz:

1/m geht gegen 0 für m gegen unendlich und es gilt 1/m kleiner gleich 1 für alle m aus IN

1/n analog

Daraus lässt sich eine Skizze machen:

~draw~ rechteck(0|0 1 1){1};zoom(1) ~draw~

wobei x-Achse Realteil und y-Achse Im.-Teil ist.

Punkt "oben rechts" also (1I1) ist wenn n,m=1
Punkt "unten links" (0I0) ist wenn m, n gegen unendlich laufen.


Nun, diese Fläche repräsentiert M.

Häufungspunkte:
Ich kann m fixieren und den imaginären Teil laufen lassen. Dann wäre doch jedes 1/m ein HP, weil sich für n gegen unendlich die Punkte da häufen, oder?
Ich kann aber auch das gleiche mit n machen (fixieren und m laufen lassen). Das bedeutet dass alle i/n (n aus N) HP sind, oder?
Reicht das? Woher weiß ich, dass das alle HP sind, mathematisch? Ist eine Skizze bei einem Beweis i.O.?

offen:
Dafür müsste ich um jeden Punkt von M eine Epsilon-Umgebung (e>0) legen können, sprich M besteht nur aus inneren Punkten. Wenn ich n,m=1 setze habe ich ein Gegenbeispiel also, ist M schon mal nicht offen.

abgeschlossen:
Im Skript steht: "M heißt abgeschlossen (in C), wenn für jede Folge in M, die
konvergiert, der Limes ebenfalls zu M gehört", heißt das nicht einfach, dass alle HP auch in M sein müssen?
Falls ja, kann ich das so übernehmen von oben und damit ist M abgeschlossen. Sieht man auch an der Skizze, würde die hier als Beweis reichen?

Stimmt das was ich habe?

von
Nun, diese Fläche repräsentiert M.

Nein. Die Fläche repräsentiert höchstens ein Gebiet, in dem auch M mit drin ist.

Eine Ecke dieses Quadrats ist relativ dünn besetzt.

> Möglicherweise. Ist aber mit i die imaginäre Einheit gemeint oder irgendein Laufindex?
imaginär

>Nein.

Merke gerade meinen Fehler. Punkte wie 2/3+i/2 werden ja nicht getroffen.

Kann ich M überhaupt zeichnen?

Zeichne auf die waagerechte Achse mit die Punkte 1, 1/2, 1/3, 1/4 und 1/5.

Zeichne dann alle Punkte in die Fläche, die entstehen, wenn du dem Realteil 1 die Imaginärteile i, i/2, i/3, i/4 ... zuordnest.

Zeichne auch für die Realteile 1/2, 1/3, 1/4 und 1/5 die gleichen Zuordnungen ein.


PS: siehe Abbildung, m und n gehen hier bis 50

Unbenannt.JPG

Ja, dass habe ich erkannt. Es sieht dann so aus wie ein Gitter über die Fläche die ich oben stehen habe, wobei es "dichter" wird, umso näher ich (0I0) komme. Aber Zeichnerisch würde es mir nicht viel bringen, glaube ich. Es entsteht auf jeden Fall keine einfache Fläche wie Rechteck, Kreis o.ä. um M zusammenfassend zu erkennen.

EDIT : Danke für die Grafik

1 Antwort

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Beste Antwort

Es gibt isolierte Häufungspunkte auf der reellen Achse und auf der imaginären Achse. In der Fläche selbst gibt es keine.

von 41 k

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