Aloha :)
a) Die Abbildung ist linear, weil das Integral linear ist:
(i) Homogenität mit a∈R und u∈Π2φ(a⋅u)=0∫1(a⋅u)(x)⋅x2dx=0∫1a⋅u(x)⋅x2dx=a0∫1u(x)⋅x2dx=a⋅φ(u)
(ii) Additivität mit u,v∈Π2
φ(u+v)=0∫1(u+v)(x)⋅x2dx=0∫1u(x)⋅x2dx+0∫1v(x)⋅x2dx=φ(u)+φ(v)
b) Die Spalten der Abbildungsmatrix M sind die Bilder der Basis"vektoren".
φ(1)=0∫11⋅x2dx=[3x3]01=31φ(x)=0∫1x⋅x2dx=0∫1x3dx=[4x4]01=41φ(x2)=0∫1x2⋅x2dx=0∫1x4dx=[5x5]01=51
Das führt auf die Abbildungsmatrix:
M=(314151);φ(α0+α1x+α2x2)=M⎝⎛α0α1α2⎠⎞
Ich verstehe nicht, was die Darstellung der Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis des R2 sein soll. In die Abbildung gehen 3 Parameter rein α1,α2,α3 und es kommt ein Wert (das Integral) als Ergebnis heraus. Ich könnte mir vorstellen, dass man als Eingangsbasis die Monombasis beibehält und als Ausgangsbasis die des R2 verwendet. Dann wäre aber die y-Koodinate immer null, weil das Ergebnis aus R und nicht aus C ist. Also wäre mein Vorschlag
M′=(310410510)
Aber sicher bin ich mir da nicht. Habt ihr was dazu in der Vorlesung gehabt?