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Hallo,

ich bin echt verzweifelt. Und zwar geht es um Abbildungsmatrizen.

Die Aufgabe lautet:


Wir betrachten den Raum ∏2(0,1) := {p: (0,1) → ℝ | p(x) = α0 + α1x + α2x2 ,  α012 ∈ ℝ} und die Abbildung φ(u) : ∏2(0,1) → ℝ
                                   u ↦∫01 u(x) * x² dx


a) Warum ist die Abbildung linear?

b) Geben Sie die Abbildungsmatrix M von φ bzgl. der Monombasis {1, x, x2} von ∏2 und der Standardbasis von ℝ2.

Ich habe mich nun schon durch jegliche Unterlagen und Internetseiten druchgekämpft, doch finde immernoch keine passenden Antworten.

Bin für jegliche Hilfe dankbar.

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Titel: Warum ist diese Abbildung linear?

Stichworte: lineare,lineare-abbildung

Aufgabe: Wir betrachten den Raum Π2:=p : R → R | p(x) = a0 + a1 x + a2 x2    , a0, a1, a2 ∈ R

und die Abbildung φ(u) : Π2 → R

u↦∫ u(x) * x2 dx


Integral von 0 bis 1


Warum ist diese Abbildung linear?


Wie finde ich die Abbildungsmatrix bezüglich der Monombasis (1,x,x2) von Π2 ?


Vielen Dank


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Aloha :)

a) Die Abbildung ist linear, weil das Integral linear ist:

(i) Homogenität mit aRa\in\mathbb R und uΠ2u\in\Pi_2φ(au)=01(au)(x)x2dx=01au(x)x2dx=a01u(x)x2dx=aφ(u)\varphi(a\cdot u)=\int\limits_0^1(a\cdot u)(x)\cdot x^2\,dx=\int\limits_0^1a\cdot u(x)\cdot x^2\,dx=a\int\limits_0^1u(x)\cdot x^2\,dx=a\cdot\varphi(u)

(ii) Additivität mit u,vΠ2u,v\in\Pi_2

φ(u+v)=01(u+v)(x)x2dx=01u(x)x2dx+01v(x)x2dx=φ(u)+φ(v)\varphi(u+v)=\int\limits_0^1(u+v)(x)\cdot x^2\,dx=\int\limits_0^1u(x)\cdot x^2\,dx+\int\limits_0^1v(x)\cdot x^2\,dx=\varphi(u)+\varphi(v)

b) Die Spalten der Abbildungsmatrix MM sind die Bilder der Basis"vektoren".

φ(1)=011x2dx=[x33]01=13\varphi(1)=\int\limits_0^11\cdot x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}φ(x)=01xx2dx=01x3dx=[x44]01=14\varphi(x)=\int\limits_0^1x\cdot x^2dx=\int\limits_0^1x^3dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{1}{4}φ(x2)=01x2x2dx=01x4dx=[x55]01=15\varphi(x^2)=\int\limits_0^1x^2\cdot x^2dx=\int\limits_0^1x^4dx=\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{1}{5}

Das führt auf die Abbildungsmatrix:

M=(131415);φ(α0+α1x+α2x2)=M(α0α1α2)M=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)=M\begin{pmatrix}\alpha_0\\\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}

Ich verstehe nicht, was die Darstellung der Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis des R2\mathbb R^2 sein soll. In die Abbildung gehen 3 Parameter rein α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 und es kommt ein Wert (das Integral) als Ergebnis heraus. Ich könnte mir vorstellen, dass man als Eingangsbasis die Monombasis beibehält und als Ausgangsbasis die des R2\mathbb R^2 verwendet. Dann wäre aber die yy-Koodinate immer null, weil das Ergebnis aus R\mathbb R und nicht aus C\mathbb C ist. Also wäre mein Vorschlag

M=(131415000)M'=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

Aber sicher bin ich mir da nicht. Habt ihr was dazu in der Vorlesung gehabt?

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