lineare Abbildung? und Abbildungsmatrix

Question

Hallo,

ich bin echt verzweifelt. Und zwar geht es um Abbildungsmatrizen.

Die Aufgabe lautet:

Wir betrachten den Raum ∏₂(0,1) := {p: (0,1) → ℝ | p(x) = α₀ + α₁x + α₂x² ,  α₀,α₁,α₂ ∈ ℝ} und die Abbildung φ(u) : ∏₂(0,1) → ℝ
                                   u ↦∫₀¹ u(x) * x^² dx

a) Warum ist die Abbildung linear?

b) Geben Sie die Abbildungsmatrix M von φ bzgl. der Monombasis {1, x, x²} von ∏₂ und der Standardbasis von ℝ².

Ich habe mich nun schon durch jegliche Unterlagen und Internetseiten druchgekämpft, doch finde immernoch keine passenden Antworten.

Bin für jegliche Hilfe dankbar.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Warum ist diese Abbildung linear?

Stichworte: lineare,lineare-abbildung

Aufgabe: Wir betrachten den Raum Π2:=p : R → R | p(x) = a0 + a1 x + a2 x²    , a0, a1, a2 ∈ R

und die Abbildung φ(u) : Π2 → R

u↦∫ u(x) * x² dx

Integral von 0 bis 1

Warum ist diese Abbildung linear?

Wie finde ich die Abbildungsmatrix bezüglich der Monombasis (1,x,x²) von Π2 ?

Vielen Dank

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Schau mal bitte hier:

https://www.mathelounge.de/782976/lineare-abbildung-und-abbildungsma…

Answer 1

Aloha :)

a) Die Abbildung ist linear, weil das Integral linear ist:

(i) Homogenität mit $a\in\mathbb R$ und $u\in\Pi_2$$$\varphi(a\cdot u)=\int\limits_0^1(a\cdot u)(x)\cdot x^2\,dx=\int\limits_0^1a\cdot u(x)\cdot x^2\,dx=a\int\limits_0^1u(x)\cdot x^2\,dx=a\cdot\varphi(u)$$

(ii) Additivität mit $u,v\in\Pi_2$

$$\varphi(u+v)=\int\limits_0^1(u+v)(x)\cdot x^2\,dx=\int\limits_0^1u(x)\cdot x^2\,dx+\int\limits_0^1v(x)\cdot x^2\,dx=\varphi(u)+\varphi(v)$$

b) Die Spalten der Abbildungsmatrix $M$ sind die Bilder der Basis"vektoren".

$$\varphi(1)=\int\limits_0^11\cdot x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}$$$$\varphi(x)=\int\limits_0^1x\cdot x^2dx=\int\limits_0^1x^3dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{1}{4}$$$$\varphi(x^2)=\int\limits_0^1x^2\cdot x^2dx=\int\limits_0^1x^4dx=\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{1}{5}$$

Das führt auf die Abbildungsmatrix:

$$M=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)=M\begin{pmatrix}\alpha_0\\\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}$$

Ich verstehe nicht, was die Darstellung der Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis des $\mathbb R^2$ sein soll. In die Abbildung gehen 3 Parameter rein $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ und es kommt ein Wert (das Integral) als Ergebnis heraus. Ich könnte mir vorstellen, dass man als Eingangsbasis die Monombasis beibehält und als Ausgangsbasis die des $\mathbb R^2$ verwendet. Dann wäre aber die $y$-Koodinate immer null, weil das Ergebnis aus $\mathbb R$ und nicht aus $\mathbb C$ ist. Also wäre mein Vorschlag

$$M'=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

Aber sicher bin ich mir da nicht. Habt ihr was dazu in der Vorlesung gehabt?