Zeigen Sie, dass die Funktion f : R^2 → R mit f(x,y) = 2x^2 −3xy^2 +y^4 = x(x−y^2)+(x−y^2)^2 entlang jeder Geraden …

Question

Hallo in die Runde:

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Zeigen Sie, dass die Funktion f : R^2 → R mit f(x,y) = 2x^2 −3xy^2 +y^4 = x(x−y^2)+(x−y^2)^2 entlang jeder Geraden durch den Ursprung (0,0) ein lokales Minimum hat, aber in (0,0) kein lokales Minimum besitzt.

Komme aber mit der Aufgabe nicht so gut klar.

Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

f(x,y) = 2x^2 −3xy^2 +y^4 = x(x−y^2)+(x−y^2)^2 = (x-y^2)*(2x-y^2)

entlang jeder Geraden durch den Ursprung (0,0) ein lokales Minimum hat,

aber in (0,0) kein lokales Minimum besitzt.

Gerade durch (0,0) ist entweder die y-Achse (also alle Punkte der Art (0,y) .

Wenn du das einsetzt ist immer f(0,y)=0 also bei (0,0) ein lok. Min.

Ansonsten gibt es ein a, so dass alle Punkte von der Art  (x,ax) sind.

Einsetzen gibt

f(x,ax) =  g_a(x) = 2x^2 - 3x a^2 x^2 + a^4 x^4 = a^4 x^4 - 3 a^2 x^3 + 2x^2

mit g_a '(x)  =   4a^4 x^3 - 6a^2 x^2 + 4x

und g_a' ' (x) = 12a^4 x^2 - 12a^2 x + 4

also g_a ' (0) = 0   und g_a' ' (0) = 4 > 0 also lok. Min. bei x=0.

Andererseits gibt es in jeder Umgebung von (0;0) Punkte

(x,y) mit  x < y^2 < 2x und bei denen ist der Funktionswert negativ.