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Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen A A und B B her. Die herstellbare Menge des Gutes hàngt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion
q=f(x1,x2)=e0.3x1+0.4x2+0.3x1x2 q=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{0.3 x_{1}+0.4 x_{2}+0.3 x_{1} x_{2}}
Dabei bezeichnen x1 x_{1} und x2 x_{2} die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A A und B B und q=f(x1,x2) q=f\left(x_{1}, x_{2}\right) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen 2.4 Tonnen des Rohstoffs A A und 2.4 Tonnen des Rohstoffs B B zur Verfugung. Es besteht die Moglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs A A um 1 Tonnen zu steigern, wăhrend die Zulieferungen des Rohstoffes B B in Zukunft um 0.4 Tonnen sinken werden.
Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

Vielen Dank!

Liebe Grüße

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Aloha :)

Die Produktionsfunktionq=f(x,y)=e0,3x+0,4y+0,3xyq=f(x,y)=e^{0,3x+0,4y+0,3xy}müssen wir in die Formel für das totale Differential

dq=df=fxdx+fydydq=df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy

Die dazu nötigen Ableitungen bilden wir mit Hilfe der Kettenregel:

dq=e0,3x+0,4y+0,3xy(0,3+0,3y)dx+e0,3x+0,4y+0,3xy(0,4+0,3x)dydq=e^{0,3x+0,4y+0,3xy}\cdot(0,3+0,3y)\,dx+e^{0,3x+0,4y+0,3xy}\cdot(0,4+0,3x)\,dydq=e0,3x+0,4y+0,3xy((0,3+0,3y)dx+(0,4+0,3x)dy)\phantom{dq}=e^{0,3x+0,4y+0,3xy}\cdot\left(\,(0,3+0,3y)\,dx+(0,4+0,3x)\,dy\,\right)dq=f(x,y)((0,3+0,3y)dx+(0,4+0,3x)dy)\phantom{dq}=f(x,y)\cdot\left(\,(0,3+0,3y)\,dx+(0,4+0,3x)\,dy\,\right)

Die marginale Änderung der Produktion erhalten wir durch Einsetzen der Werte:

dq=f(2,42,4)((0,3+0,32,4)1+(0,4+0,32,4)(0,4))dq=f(2,4|2,4)\cdot\left(\,(0,3+0,3\cdot2,4)\cdot1+(0,4+0,3\cdot2,4)\cdot(-0,4)\,\right)dq=30,2048(1,020,448)dq=30,2048\cdot\left(\,1,02-0,448\,\right)dq=30,2048(1,020,448)dq=30,2048\cdot\left(\,1,02-0,448\,\right)dq=17,2771dq=17,2771

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Vielen Dank!

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Die Aufgabe sollte wie in folgender Aufgabe gerechnet werden:

https://www.mathelounge.de/402655

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