Genau im Prinzip fängst du an, wie beim Beweis für Wurzel2.
Angenommen \( \sqrt{6} \) wäre rational, dann gibt es ganze Zahlen p,q mit \(\sqrt{6}= \frac{p}{q} \)
Wir nehmen an der Bruch \( \frac{p}{q} \) ist bereits vollständig gekürzt, also ggT(p,q)=1.
\(\sqrt{6}= \frac{p}{q} => 6= \frac{p^2}{q^2} \)
\(=> p^2=6q^2 => p^2=3·(2q^2) \) => 3 ist ein Teiler von p²
Da 3 das Produkt p*p teilt und eine Primzahl ist, ist 3 ein Teiler von p. Es existiert demnach eine ganze Zahl p' mit \(p=3p' \)
\(p^2=6q^2 =>(3p')^2=6q^2 => 3^2·p'^2=3·2q^2 => 3p'^2=2q^2 \)
=> 3 ist ein Teiler von 2q²
Da 3 das Produkt 2q² teilt und 3 eine Primzahl ist, ist 3 ein Teiler von mind. einem der Faktoren 2 oder q. Da 3 kein Teiler von 2 ist, ist also 3 ein Teiler von q.
=> 3 ist ein Teiler von p und auch ein Teiler von q. => Widerspruch zur Voraussetzung ggT(p,q)=1 und zur Rationalitätsannahme.
=> \(\sqrt{6} \) ist irrational.
