√2 +√6 "Beweisen Sie die Irrationalität

Question

Aufgabe:

√2 +√6     "Beweisen Sie die Irrationalität

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht genau, wie ich bei sowas vorgehen soll.

Wurzel 3 / Wurzel 11 etc. kann ich beweisen aber wie genau gehe ich vor, wenn ich noch beide Aufgaben addieren soll

Answer 1

Wenn \(\sqrt2+\sqrt6\) rational wäre, dann wäre auch \((\sqrt2+\sqrt6)\cdot(\sqrt2+\sqrt6)\) rational.
Wegen \((\sqrt2+\sqrt6)\cdot(\sqrt2+\sqrt6)=8+4\sqrt3\) müsste dann auch \(\sqrt3\) rational sein, was bekanntlich nicht der Fall ist.

Comments

Danke, welche Rechenregel ist es genau, also wie du auf die 8 + 4 Wurzel 3 kommst.

Wäre dankbar, wenn du es kurz erklären könntest

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welche Rechenregel ist es genau, also wie du auf die 8 + 4 Wurzel 3 kommst.

das ist das Distributivgesetz für Addition und Multiplikation von Zahlen.$$a\cdot(b+c) = ab+ac$$Daraus folgt auch$$(a+b)\cdot(c+d) = ac + ad + bc +bd$$oder auch die 1. binomische Formel$$(a+b)^2=(a+b)(a+b) = a^2+ab + ba + b^2 = a^2+2ab+b^2$$wenn man nun \(a=\sqrt 2\) und \(b=\sqrt 6\) setzt, dann kommt da heraus:$$\begin{aligned}\left(\sqrt 2+\sqrt 6\right)^2 &= \left(\sqrt 2\right)^2 + 2\sqrt 2\sqrt 6 + \left(\sqrt 6\right)^2\\&= 2 + 2\sqrt{12} + 6\\&=8 + 2\sqrt{2^2\cdot 3}\\&= 8 +4\sqrt 3\end{aligned}$$

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@Arsinoë4:

\(\dots =8+4\sqrt3\) müsste dann auch \(\sqrt3\) rational sein, was bekanntlich nicht der Fall ist.

müsste man dann nicht noch zeigen, dass die Summe einer rationalen und einer (dieser) nicht rationalen Zahl nicht rational ist?

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Nicht unbedingt. Äquivalent dazu ist:$$\tfrac14\cdot(\sqrt2+\sqrt6)\cdot(\sqrt2+\sqrt6)-2=\sqrt3.$$