Symmetrie einer Matrize

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Abbildung
φ: K^N×N → K^N×N , A ↦1/2(A + A^T),
den Untervektorraum K^N×N_sym = {A ∈ K^N×N : A = A^T} der symmetrischen
und K^N×N_anti = {A ∈ K^N×N : A = −A^T} der antisymmetrischen Matrizen.

a) Zeigen Sie, dass fur alle Matrizen ¨ A ∈ K^N×N die Matrix A+A^T symmetrisch ist

b) Zeigen Sie, dass die Abbildung φ linear ist.

c) Bestimmen Sie Bild, Kern, Defekt und Rang von φ.

d) Zeigen Sie K^N×N = K^N×N_sym ⊕ K^N×N_anti

Problem/Ansatz:

Ich habe kein Plan wie ich diese Frage beantworten/herangehen soll. Falls iwer so gnädig wäre und hier die Lösungen oder Tipps oder sonst was schickt, wäre ich unendlich dankbar.

Answer 1

Auch hier nur mal (a) Den Rest schaffst Du alleine oder zeige Deine Rechenwege

$$ (A + A^T) ^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A $$ also ist \( A+A^T \) symmetrisch.