2 x 2 Matrix. Zeigen Sie, dass A einen Eigenwert λ ∈ ℝ hat.

Question

ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:

Sei A ∈ M(2 × 2,ℝ) eine symmetrische Matrix. Zeigen Sie, dass A einen Eigenwert λ ∈ ℝ hat.

ich wäre für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Nun, det(A-λE)=0 liefert für eine sym Matrix (a_ij) (a12=a21)

\( \lambda^{2}  - \; \lambda (a11+a22) \; + a11 \; a22 -a12^{2} = 0\)

===>

\(\lambda = \frac{(a11 + a22) \underline{+} \sqrt{ (a11+a22)² -4(a11 a22 - a12² )}}{2}\)

===>√

\(a11^{2} - 2 \; a11 \; a22 + a22^{2}+ 4 \; a12^{2} \)

===>

\(\left(a11 - a22 \right)^{2} + 4 \; a12^{2} > 0\)

===>

λ∈ℝ