Lösen Sie die Gleichungen im Bereich der komplexen Zahlen: a) z^3=1 b) z^4=i

Question

a) z^3 = 1

b) z^4 = i

Wir sind beim Thema komplexe Zahlen und dabei haben wir auf unserem Arbeitsblatt diese Aufgabe, wobei ich einen Ansatz bräuchte, da ich nicht wirklich weiß wie ich hier die Gleichung lösen soll.

Answer 1

Hi,

gibt mehrere Ansätze das zu lösen. Zum Beispiel über die Polarkoordinaten etc.

Hier mal nen anderen Vorschlag:

a)

z^3 - 1 = 0  

Raten einer Nullstelle z₁ = 1

(z^3-1) / (z-1) = z^2+z+1

pq-Formel

z_2,3 = -(1/2)±(√3 / 2)i

 

b) Mit Euler

z⁴=i

z = i^1/4


Das würde ich nun in Polarform überführen, damit man die vier Wurzeln die sich ergeben gut errechnen lassen.

Wissen:

i = cos(π/2) + i*sin(π/2)

Euler - De Moivre

i^1/4 = cos(π/8+πk/2) + i sin(π/8+πk/2)


Nun k für k=0...3

k = 0 -> z = cos(π/8) + i sin(π/8) ≈ 0.92 + 0.38i
k = 1 -> z = cos(5π/8) + i sin(5π/8) ≈ -0.38 + 0.92i
k = 2 -> z = cos(9π/8) + i sin(9π/8) ≈ -0.92 - 0.38i
k = 3 -> z = cos(13π/8) + i sin(13π/8) ≈ 0.38 - 0.92i


Grüße

Comments

Das mit den nullstellen hätte ich selber erraten können.. okay vielen dank, ich werd mir dann nochmal die gesetzmäßigkeiten durchlesen und es selber versuchen.

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Ja, das ist hier besonders einfach. Da muss man nicht in Polarkoordinaten gehen :).

Aber bei letzterem geht das schon nicht mehr so gut. Euler - De Moivre ist hier sicher ein Mittel der engeren Wahl.


Gerne

Answer 2

1=z^3

Schreibe die Zahl 1 in Polarkoordinaten: 1 = 1* e^{i*0} = 1*e^{i*2π} = 1*e^{i*4π}

Nun ^3 √ 1 = 1
und 0/3 = 0
2π/3
4π/3

Erste Lösung z1= 1*e^{0*i} = 1
Zweite Lösung z2 = 1*e^{i*(2π|3)} = cos(120°) + i*sin(120°)
Dritte Lösung z3 = 1*e^{i*(4π|3)} = cos(240°) + i*sin(240°)
z4 gibt wieder z1 usw.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z^3%3D1

Betrachte auch die ähnlichen Fragen und weitere Links bei https://www.mathelounge.de/57330/losungen-fur-z-3-1-komplexe-zahlen