Wie bestimme ich Lösungsmengen von komplexen Gleichungen? Iz+iI = I z + r I, z^5 = 1 - i√(3)

Question

Hi ich schreibe bald eine Mathe Klausur. Und habe mir deshalb schin mal die vor Klausuren angesehen, jedoch komme ich mit der einen Aufgabenstellung nicht weiter. Ich hoffe, dass mir vielleicht jemand die Aufgabe schritt für schritt einmal vorrechnen kann, damit ich sehe wie man vor gehen muss.

danke schon mal im Voraus:)

Bestimmen sie jeweils die Lösungsmenge L _c C der olgenden Gleichung

a) Iz+iI = I z + r I

b) z^5 = 1 - i√(3)

Comments

Hast du bei a) genauere Angaben zu r? soll das eine reelle Zahl sein?

b)  z⁵ = 1 - i √(3)

Du meinst hier i mal die Wurzel?

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Ja das soll i * Wurzel aus 3 bedeuten

Answer 1

a) Iz+iI = I z + r I

 Iz- (-i)I = I z - (- r)  I
Betrag einer Differenz in C ist der Abstand der beiden Punkte in der komplexen Zahlenebene.

L = {z | z hat von -i und von r den gleichen Abstand}

Daher L = Mittelsenkrechte der Strecke von -i zu -r.
b) z⁵ = 1 - i Wurzel(3)

b) z⁵ = 1 - i√(3)

|z^5| = √(1+3) = 2

|z| = 2^{1/5}         aso 5. Wurzel aus 2.

Arg (z^5) = arctan ( -√3/1) = -60° = 300°

Arg(z) = 300°/5  + k*360°/5 = 60° + k*72°

z1 = 2^{1/5} * e^{iπ/3}

 

z2 = 2^{1/5} * e^ (i(π/3 + 2π/5))

z3 = 2^{1/5} * e^ (i(π/3 + 4π/5))

z4 = 2^{1/5} * e^ (i(π/3 + 6π/5))

z5 = 2^{1/5} * e^ (i(π/3 + 8π/5))

Answer 2

Ich löse die erste Aufgabe mal so wie ich sie interpretieren würde.

|z + i| = |z + r|

z = a + b·i

|a + b·i + i| = |a + b·i + r|

|a + (b + 1)·i| = |(a + r) + b·i|

√(a^2 + (b + 1)^2) = √((a + r)^2 + b^2)

a^2 + (b + 1)^2 = (a + r)^2 + b^2

a^2 + b^2 + 2·b + 1 = a^2 + 2·a·r + b^2 + r^2

2·b + 1 = 2·a·r + r^2

b = a·r + 0.5·r^2 - 0.5

z = a + (a·r + 0.5·r^2 - 0.5)·i

Answer 3

a) z= x+iy , r=a+ib  mit x,y,a,b ∈ ℝ 

Zu suchen sind nun x und y

dann ist |z+i|=|z+r| ⇔ |x+i(y+1)|=|(x+a)+i(y+b)| ⇒ x² +(y+1)² = (x+a)²+(y+b)²  

Ausmultiplizieren und nach y aufloesen liefert:

2(1-b)y=2ax+a² +b² +1

1.Fall b≠1 : dann y=(2ax+a² +b² +1)/(2(1-b)) dieses Ergebnis reicht schon als Parametrisierung einer Geraden y=y(x)

2.Fall b=1: Dann y beliebig und 2ax=-a² 

Fall 2.1: a=0 , x beliebig

Fall 2.2: a≠0 x=-a

 

b)z⁵= 1 - i √(3) =2(1/2-i√(3)/2)=2( cos(π/3)-i sin(π/3)) 2 e^iπ/3 

z=2^1/5 e^{i(π/15 + 2kπ/5)}  k ∈{0,1,2,3,4}

 

Fuer den Fall b=1 und a=0, dass z beliebig ist ist ja klar : da |z+i|=|z+i| für alle z ∈ ℂ gilt.