Existiert eine lineare Abbildung φ: ℝ3 → ℝ2 mit folgenden Eigenschaften?

Question

Aufgabe:

Existiert eine lineare Abbildung φ: ℝ³ → ℝ² mit folgenden Eigenschaften? Falls ja, geben Sie
die Darstellungsmatrix von φ bezüglich der Standardbasis an.

a.) ker(φ) = ⟨ (1, 0, 1) ⟩

b.) ker(φ) = ⟨ (1, 0, 0), (0, 1, 0) ⟩ , Bild(φ) = ⟨ (2, 1) ⟩

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht so ganz, wie man daraus eine Darstellungsmatrix finden kann, weil der Kern entspricht der Lösungsmenge der Darstellungsmatrix, also könnte man an sich eine beliebe Matrix einfach aussuchen, die 2x3 ist??

Answer 1

Hallo,

zu a). Betrachte $\phi: \, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \, (x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix} x -z \\ y \end{pmatrix}$.

zu b). Betrachte $\phi: \, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \, (x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix} 2z \\ z \end{pmatrix}$.