5 Wurzel aus Komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Welche Zahlen erfüllen die Lösung der Gleichung z^5 = z4

z4 = 2  * exp(i * (7/4) * pi)

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die 5. Wurzel jeweils von 2 und exp(i * (7/4) * pi) zu ziehen.

2 → 5root(2) * exp(i * (((7/4) * pi) / 5))

Wenn ich das ganze so löse, bekomme ich ja bloss eine weitere Gleichung, aber keine Lösung.

Wie gehe ich richtig vor?

Vielen Dank!

Answer 1

z^5 = 2 * exp(i * (7/4 + k * 2) * pi)

z = 2^(1/5) * exp(i * (7/20 + k * 2/5) * pi)

Und das sind jetzt schon die Lösungen. Du kannst sie noch etwas schöner aufschreiben

z1 = 2^(1/5) * exp(i * 7/20 * pi)
z2 = 2^(1/5) * exp(i * 15/20 * pi)
z3 = 2^(1/5) * exp(i * 23/20 * pi)
z4 = 2^(1/5) * exp(i * 31/20 * pi)
z5 = 2^(1/5) * exp(i * 39/20 * pi)