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Aufgabe:

Es sei f(X)=i=0kaiXiR[X] f(X)=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} X^{i} \in \mathbb{R}[X] ein reelles Polynom mit a00. a_{0} \neq 0 . Weiter sei ARn×n A \in \mathbb{R}^{n \times n} eine relle n×n n \times n Matrix mit
f(A)=i=0kaiAi=0Rn×n f(A)=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot A^{i}=\underline{0} \in \mathbb{R}^{n \times n}

Zeigen Sie, dass ARn×n A \in \mathbb{R}^{n \times n} invertierbar ist.

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In der Gleichung

        i=0kaiAi=0\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot A^{i}=\underline{0}

a0A0a_0A^0 subtrahieren, dann mit 1a0-\frac{1}{a_0} multiplizieren und dann auf der linken Seite AA ausklammern.

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