Aufgabe:
Es sei f(X)=∑i=0kaiXi∈R[X] f(X)=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} X^{i} \in \mathbb{R}[X] f(X)=i=0∑kaiXi∈R[X] ein reelles Polynom mit a0≠0. a_{0} \neq 0 . a0=0. Weiter sei A∈Rn×n A \in \mathbb{R}^{n \times n} A∈Rn×n eine relle n×n n \times n n×n Matrix mitf(A)=∑i=0kai⋅Ai=0‾∈Rn×n f(A)=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot A^{i}=\underline{0} \in \mathbb{R}^{n \times n} f(A)=i=0∑kai⋅Ai=0∈Rn×n
Zeigen Sie, dass A∈Rn×n A \in \mathbb{R}^{n \times n} A∈Rn×n invertierbar ist.
In der Gleichung
∑i=0kai⋅Ai=0‾\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot A^{i}=\underline{0}i=0∑kai⋅Ai=0
a0A0a_0A^0a0A0 subtrahieren, dann mit −1a0-\frac{1}{a_0}−a01 multiplizieren und dann auf der linken Seite AAA ausklammern.
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