Körpererweiterung, beweis!

Question

Moin moin!

Aufgabe:

Sei \( K \subseteq L \) eine Körpererweiterung und \( p:=[L: K] \leq \infty \) eine Primzahl. Wie zeige ich:
Ist \( p=2 \) und \( \operatorname{char}(K) \neq 2 \), so existiert \( \alpha \in L \) mit \( L=K(\alpha) \) , dass \( \alpha^{2} \in K \) gilt.

Grüße ;)

Comments

L ist eine Körpererweiterung vom Grad 2, also existiert eine K-Basis der Form \( (1,\alpha) \) (1 ist linear unabhängig -> Basisergänzungssatz) mit \( \alpha \in L \)

Wir erhalten \( L \subseteq K(\alpha) \). Wir können \( \alpha^2 \) als K-Linearkombination der Basis schreiben, etwa

$$ \alpha^2 = \lambda_1 \cdot \alpha + \lambda_0 \cdot 1 \iff \alpha^2 - \lambda_1 \alpha - \lambda_0 \cdot 1 = 0 $$

Insbesondere gilt mit \( f = X^2 - \lambda_1 X - \lambda_0 \in K[X] \), dass \( f(\alpha) = 0 \).

Wir fixieren nun einen algebraischen Abschluss \( \overline K \) von \( K \). In diesem hat \( f \) genau 2 Nullstellen, nämlich \( x_{1,2} = \frac{\lambda_1 \pm \sqrt{\lambda_1^2 + 4\lambda_0}}{2} \) (Versuche das mal mit quadratischer Ergänzung zu beweisen, hier geht \( \operatorname{char}(K) \neq 2 \) ein).

In unserem Algebraischen Abschluss gilt deshalb \( \alpha = \frac{\lambda_1 + \sqrt{\lambda_1^2 + 4\lambda_0}}{2} \) oder \( \alpha = \frac{\lambda_1 - \sqrt{\lambda_1^2 + 4\lambda_0}}{2} \), aber auf jeden Fall

$$ \alpha \in K\left(\sqrt{\lambda_1^2 + 4 \lambda_0}\right) \implies K(\alpha) \subseteq K\left(\sqrt{\lambda_1^2 + 4 \lambda_0}\right) $$

Wegen \( [L:K] = 2 = [ K\left(\sqrt{\lambda_1^2 + 4 \lambda_0}\right):K] \) folgt \( L = K(\alpha) = K\left(\sqrt{\lambda_1^2 + 4 \lambda_0}\right) \)

Und \( \alpha^2 = \lambda_1^2 + 4\lambda_0 \in K\).

Answer 1

Es ist also L ein 2-dimensionaler K-Vektorraum .

K selbst ist ein 1-dim. Untervektorraum von L , somit kann die 1 eine

Basis dieses Untervektorraumes sein, die zu einer Basis von L ergänzt

werden kann, also gibt es eine Basis {1;α}  von L.

Somit gilt für alle z∈L : Es gibt x,y aus K mit z = x+yα

also ist L = K (α) .

Da L ein Körper ist, hat insbesondere 1+α ein Inverses x+yα

in L ( aber das ist nicht in K, da sonst auch 1+α in K wäre)

==>    y ≠ 0.

also gilt  (1+α ) * (x+yα) = 1

<=>   x + yα + xα + yα^2 = 1

<=>    x + yα^2 + (y+x)α   = 1 + 0α

wegen der Eindeutigkeit der Darstellung durch

eine Basis gilt also

   x + yα^2 = 1            und x+y=0

==>  yα^2 = 1 - x und (s.o)  y≠ 0

  ==>    α^2 = (1 - x ) *y^(-1)

und wegen x,y aus K ist also auch  α^2  aus K . q.e.d.

Comments

wegen der Eindeutigkeit der Darstellung durch eine Basis gilt also

Dafür muss man aber auch wissen, dass es sich bei beiden Darstellungen um K-Linearkombinationen handelt. D.h. \( x+y\alpha^2 \in K \iff \alpha^2 \in K \). Die zu zeigende Behauptung wird also für den Beweis der Behauptung verwendet.

Einfaches Gegenbeispiel:

\( L = \mathbb{Q}(i) \)

Basis \( (1,i) \). Dann gilt auch

$$ (2+i) \cdot 1 + (-1+i) \cdot i = 1 \cdot 1 + 0\cdot i $$ aber $$ (2+i)\neq 1 \land (-1+i)\neq 0 $$