Aufgabe:
Sei \( L := \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5}) \).
(a) Bestimme den Körpergrad \( [L:\mathbb{Q}] \) und den Separabilitätsgrad \( [L:\mathbb{Q}]_s \).
(b) Geben Sie alle \( \mathbb{Q} \)- Homomorphismen \( σ:L \rightarrow \overline{\mathbb{Q}} \) an, wobei \( \overline{\mathbb{Q}} \subseteq \mathbb{C} \) der Algebraische Abschluss von \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{C} \) ist.
Problem/Ansatz:
Zu (a):
\( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2 \), da das Minimalpolynom von \( \sqrt{2} \) den Grad 2 hat. Wie kann ich nun zeigen, dass \( X^3 -5 \) in \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) immer noch das Minimalpolynom von \(\sqrt[3]{5}\) ist?
Wenn das gezeigt wurde gilt \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}) : \mathbb{Q}] = 2 \cdot 3 = 6 \). Für die Separabilitätsgrade gilt dann ebenfalls \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}]_s = 2 \) und \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}) : \mathbb{Q}(\sqrt{2})]_s = 3 \), da für einfache Körpererweiterungen der Separabilitätsgrad der Anzahl der Nullstellen des Minimalpolynoms entspricht.
Zu (b) habe ich bisher noch keinen Ansatz.
