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Aufgabe:

Sei v∈ℝn ein Einheitsvektor, dh. ||v||2 =( \sqrt{vT*v} \) =1 und En die Einheitsmatrix. Zeigen Sie dass dann die Matrix S= En-2vvT (Householder-Spiegelung) folgende Eigenschaften besitzt:

a) S ist invertierbar und S-1 =S

b) S ist orthogonal und es gilt Sv=-v

Problem/Ansatz:

Muss man da nur zeigen :

b) S*S-1

c) Sv=-v

Oder muss man bei dieser Aufgabe etwas anderes zeigen?\

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SS=(En2vvT)(En2vvT)=En4vvT+4vvTvvT=En S \cdot S = \left( E_n - 2 v v^T \right)\left( E_n - 2 v v^T \right) = E_n - 4 v v^T + 4 v v^T v v^T = E_n wegen vvT=1 v v^T = 1

Sv=Env2vvTv=v2v=v Sv = E_n v - 2 v v^T v = v - 2v = -v

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