Aufgabe:
Es seien a, b, c, d ∈ ℝ, sodass ad = bc. Zeigen Sie, dass die Matrix A= \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) nicht invertierbar ist.
Problem/Ansatz:
Ich habe bisher folgendes gemacht:
Wir nehmen an, es existiere eine Inverse A-1= \( \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \).
Dann gilt: \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Also gilt:
I) ap + br = 1
II) cp + dr = 0
III) aq + bs = 0
IV) cq + ds = 1
c* I - a * II:
cap + cbr - acp - adr = c
cbr - adr = c
r * (cb - da) = c
r = c/(cb-da).
Dies führt zu einem Widerspruch, da cb-da=0 (Voraussetzung, dass ad=cb) und nicht durch 0 geteilt werden darf.
Meine Frage wäre jetzt, ob das erstmal grundsätzlich richtig ist und ob ich das auch für p, q, s noch ausführen muss oder es auch an dieser Stelle schon reichen würde, da ja dieses r so nicht exisitieren kann.
