Hat hierfür jemand einen etwas ausführlicheren Ansatz oder Idee?

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet: Sei $$\{ a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$ eine reelle Folge mit $$\lim_{n \to \infty} a_n = a$$. Zu beweisen ist, dass daraus $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + ...+a_n}{n} = a $$ folgt.

Problem/Ansatz:

Hat hierfür jemand einen etwas ausführlicheren Ansatz oder Idee? Hab bereits viel probiert, hat aber alles leider zu nichts geführt.

Answer 1

Zu jedem ε gibt es einen Index k sodass für alle n>=k gilt

|a_n - a| <ε.

Answer 2

Der Ansatz ist Cauchy , wenn die Folge konvergiert, dann kann ich zu jedem ε>0 ein N finden , so daß für alle n >N gilt

|a_n - a | <0,5ε

\( \sum\limits_{i=1}^{n}{a_i} \) ist eine begrenzte Zahl.

Nun gebe ich für die Summe einen Wert ε vor , dann kann ich diesen Wert halbieren und ein N_1 finden , so dass alle folgenden Elemente einen kleineren Abstand als 0,5ε

haben. Nun kann ich die Summe bilden und ein N_2 finden, so dass

$$ (\sum\limits_{i=1}^{n}{a-a_i}) /N_2 < 0,5ε$$

Nun wähle ich N = N_1+N_2 dann ist mit Sicherheit auch für alle n>N

$$( \sum\limits_{i=1}^{n}{a-a_i}) /n< ε$$

Comments

Danke, das hat mir sehr gut weitergeholfen :)

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Bitte, doch ich habe die Betragsstriche vergessen. Es ist wohl schon zu lange her, dass ich das mal gemacht habe.