(a) kann man mittels Funktionentheorie lösen.
Es gilt mit $$ f(\omega) = \frac{e^{i \omega t} } {1 + \omega^2 } $$
$$ \int_{-\infty}^\infty f(\omega) d\omega = 2 \pi i \cdot \text{Res}_{\omega=i} \big[ f(\omega) \big] = 2 \pi i \cdot \frac{ e^{-t} }{ 2 i } = \pi e^{-t} $$ für \( t \ge 0 \)
Und für \( t < 0 \) ergibt sich $$ \int_{-\infty}^\infty f(\omega) d\omega = -2 \pi i \cdot \text{Res}_{\omega=-i} \big[ f(\omega) \big] = -2 \pi i \cdot \frac{ e^{t} }{ -2 i } = \pi e^t $$ Insgesamt also $$ \int_{-\infty}^\infty f(\omega) d\omega = \pi e^{ -|t| } $$
Durch die Transformation \( \tau = -t \) kann man zeigen, dass das Resultat auch für $$ \tilde f(\omega) = \frac{e^{-i \omega t} } {1 + \omega^2 } $$ gilt, also $$ \int_{-\infty}^\infty \tilde f(\omega) d\omega = \pi e^{ -|t| } $$
