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Aufgabe:

Zeigen Sie für alle \( z, w \in \mathbb{C}: \)

(a) \( \sin (z)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z)) \)

(b) \( \sin z+\sin w=2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2} \)

(c) \( \quad \sin (3 z)=\sin (z)\left(3-4 \sin (z)^{2}\right) \).

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Abakus findet, dass der Beweis zu einfach war, darum jetzt der 2. Anlauf


a)

 $$sin (z)^2= \frac{e^{i2z}+e^{-i2z}-2}{-4}=\frac{1}{2} (1- \frac{e^{i2z}+e^{-i2z}}{2}=\frac{1}{2} (1-\cos (2z))$$

b)

$$2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2} =$$

$$ \frac{(e^{i(z+w)/2}-e^{-i(z+w)/2})(e^{i(z-w)/2}+e^{-i(z-w)/2})}{2i}=$$

$$ \frac{e^{iz}+e^{iw}-e^{-iz}-e^{-iw}}{2i}$$$$= \sin z+\sin w $$

c)

$$ \sin (z)(3-4 \sin(z)^{2}) =$$

$$ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} (3-4\frac{e^{i2z}+e^{-i2z}-2}{-4})=$$

$$ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} (1+e^{i2z}+e^{-i2z})=$$

$$ \frac{e^{iz}-e^{-iz} + e^{i3z}-e^{-i3z}-e^{iz}+e^{-iz}}{2i}=$$

$$ \frac{e^{i3z}-e^{-i3z}}{2i}=\sin (3z)$$







(a)

\( \sin (z)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z) \)
\(1-2 \sin (z)^{2}=\cos (2 z) \)
\(\cos(z)^2- \sin (z)^{2}=\cos (2 z) \)

(b)
\( \sin z+\sin w= \sin ( \frac{z+w}{2} + \frac{z-w}{2}) +\sin ( \frac{z+w}{2} - \frac{z-w}{2} ) = 2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2} \)

(c)

\( \sin (2z)= 2 \ sin (z) \cos ( z) \)

\( \cos(2z)=1-2\sin (z)^2 \)

\( \sin (3 z) =\sin (z)\left(3-4 \sin(z)^{2}\right) \).

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Hallo Hogar,

ich glaube, du machst es dir hier zu einfach. Du hantierst ein wenig mit den AUS DEM REELLEN bekannten Addiitionstheoremen bzw. Doppelwinkelformeln usw. herum.

Die Gültigkeit dieser Formel soll aber im Grundbereich der komplexen Zahlen nachgewiesen werden.

Hallo abakus,

ich dachte, dass die von mir angenommen Beziehungen auch im Komplexen gelten.

Momentan habe ich aber keine Zeit für weitere Gedanken. Übrigens ist es für mich nicht leicht, das alles ins Snartphon zu tippen, besonders wenn ich plötzlich aus Versehen wieder alles lösche.

Alles Gute, Hogar

ich dachte, dass die von mir angenommen Beziehungen auch im Komplexen gelten.

Das tun sie, aber du kennst sicherlich die Abkürzung

w.z.b.w,

(was zu beweisen wäre)

Das z.B

2 sin (z )* cos (z )= sin (2z)

folgt aus dem 3. Binomi

folgt aus dem 3. Binomi


angewendet worauf?

Antwort wurde ergänzt.

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Hallo

einfach die Def von sin(z) und cos(z) benutzen und das ausrechnen.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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