Question

Aufgabe: Wie Differenzierbarkeit mehrdimensional zeigen?

Problem/Ansatz:

mir ist klar, wie man Differenzierbarkeit über die Existenz der partiellen Ableitungen und deren Stetigkeit zeigt.

Mein Problem sind die Fälle, in denen man über die Definition der Differenzierbarkeit im mehrdimensionalen gehen muss. Habe da vier verschiedene Formeln gesehen, die grundsätzlich das gleiche aussagen und für mich auch Sinn ergeben, aber dennoch haben mich die sehr unterschiedlichen Schreibweisen aus Lehrbüchern, Formelsammlung und Vorlesung etwas verwirrt. Kann mir da jemand eine Erklärung geben, bzw. eine allgemeine Formel, die in jedem Fall funktioniert?

Vielen Dank schonmal im voraus

Gruß SG

Comments

Kann mir da jemand eine Erklärung geben, bzw. eine allgemeine Formel, die in jedem Fall funktioniert?

Im Mehrdimensionalen gibt es verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe, die verschiedenes Aussagen und verschiedene Anwendungen haben. Die verschiedenen Begriffe hängen aber teilweise miteinander zusammen.

Aus "Grundwissen Mathematik" von T. Arens und Co:

Seien D ⊆ Rⁿ offen und f : D → R^m eine Abbildung, dann gilt:

f stetig differenzierbar ⇔ f stetig partiell differenzierbar ⇒ f (total) differenzierbar ⇒ f partiell differenzierbar.

Es gibt aber noch längere Äquivalenzketten und auch speziellere Ableitungsbegriffe wie die Gâteaux-Differenzierbarkeit.

Man meint aber mit der Differenzierbarkeit einer mehrdimensionalen Abbildung meist die totale Differenzierbarkeit.

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vielen Dank erstmal. Habe vergessen zu spezifizieren. Ging um die totale Differenzierbarkeit.

Answer 1

Aloha :)

Auf einer offenen Menge \(U\subset\mathbb R^n\) sei ein Vektorfeld \(\vec f:U\to\mathbb R^m\) definiert. Wählen wir einen Punkt \(\vec x_0\in U\), so heißt die Funktion \(\vec f\) (total) differenzierbar im Punkt \(x_0\), wenn es eine lineare Abbildung in Form einer \(m\times n\)-Matrix \(\mathbf A\) gibt, sodass:

$$\lim\limits_{\vec h\to\vec 0}\frac{\vec f(\vec x_0+\vec h)-\vec f(\vec x_0)-\mathbf A\cdot\vec h}{\left\|\vec h\right\|}=\vec 0$$

Die Matrix \(\mathbf A\) heißt (totales) Differential von \(f\) in \(\vec x_0\).

Ist \(\vec f_0\) in \(\vec x_0\) partiell differenzierbar, dann gilt für das totale Differential:

$$\mathbf A=\begin{pmatrix}\operatorname{grad} f_1(\vec x_0)\\\operatorname{grad} f_2(\vec x_0)\\\vdots\\\operatorname{grad} f_m(\vec x_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[1ex]\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\[1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1ex]\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$Diese Matrix mit den Gradienten als Zeilenvektoren heißt Funktional-Matrix oder auch Jacobi-Matrix.

Ich habe immer folgendes Bild im Kopf (kein Pfeil ist umkehrbar):$$\begin{array}{c}\text{stetig partiell differenzierbar}&\Rightarrow&\text{alle Richtungsableitungen existieren}\\[1ex]\Downarrow\\[1ex]\text{(total) differenzierbar} & \Rightarrow & \text{stetig}\\[1ex] \Downarrow \\[1ex]\text{partiell differenzierbar}\end{array}$$