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Sei mN m \in \mathbb{N} und φ(m)={aN1am \varphi(m)=\mid\{a \in \mathbb{N} \mid 1 \leq a \leq m und ggT(a,m)=1} \operatorname{ggT}(a, m)=1\} \mid .

(1) Zeigen Sie: Für jedes aZ a \in \mathbb{Z} mit ggT(a,m)=1 \operatorname{ggT}(a, m)=1 gilt aφ(m)m1 a^{\varphi(m)} \equiv_{m} 1 .

(2) Leiten Sie den kleinen Satz von FeRMAT ab: Für pP p \in \mathbb{P} und aZ a \in \mathbb{Z} gilt appa a^{p} \equiv_{p} a .

(3) Bestimmen Sie 22014 2^{2014} modulo 2017 (als Element von {0,1,,2016}) \left.\{0,1, \ldots, 2016\}\right) .

Hinweis. Betrachten Sie die Einheitengruppe von Z/mZ \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} und benutzen Sie, was Sie in den Aufgaben 10.1, 10.2 10.2 und 10.3 10.3 gelernt haben.

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Für (2) schau dir mal an, was Phi(p) mit p prim ist, also wieviele teilerfremde Zahlen es zu einer Primzahl zwischen 1 und p gibt.

Ist das der zu 2)?

"Für jede Primzahl p und alle a ∈ ℤ, die nicht Vielfaches von p sind, gilt: ap-1 ≡ 1 mod p."

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Da (Z/mZ)=φ(m)|(\mathbb Z/m \mathbb Z)^* | =\varphi (m) folgt die a) aus 10.2.3. und 10.3.3 deines Übungsblattes: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAI_WS1314/blatt10.pdf b) folgt aus a) mit φ(p)=p1\varphi(p)=p-1 für eine Primzahl p und da die Aussage für 0 gilt. c) siehe hier:https://www.mathelounge.de/78650/bestimmen-sie-2-2014-mod-2017
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