Matrix transponiert Beweis

Question

Aufgabe:

$$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$$

Problem/Ansatz:

Ich soll beweisen, dass für eine quadratische, reguläre Matrix die obige Gleichung erfüllt ist.

Weiß da jemand einen Ansatz - es sollte ein relativ kurzer Beweise sein...

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

Wir zeigen zunächst, dass für \(A\in\mathbb K^{l\times m}\) und \(B\in\mathbb K^{m\times n}\) gilt: \((AB)^T=B^TA^T\). Dazu betrachten wir die einzelnen Komponenten:$$(AB)^T_{ik}=(AB)_{ki}=\sum\limits_{j=1}^m a_{kj}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^m b_{ji}a_{kj}=\sum\limits_{j=1}^m (B^T)_{ij}(A^T)_{jk}=(B^TA^T)_{ik}$$Da diese Rechnung für alle Elemente der Produktmatrix richtig ist, gilt: \((AB)^T=B^TA^T\).

Damit nun zum eigentlichen Beweis:$$\left.A^{-1}A=\mathbf 1\quad\right|\;\text{transponieren}$$$$\left.(A^{-1}A)^T=\mathbf 1^T=\mathbf 1\quad\right|\;\text{Ergebnis von bben verwenden}$$$$\left.A^T(A^{-1})^T=\mathbf 1\quad\right|\;\text{von links \((A^T)^{-1}\) multiplizieren}$$$$\left.(A^T)^{-1}A^T(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\mathbf 1\quad\right|\;\text{vereinfachen durch \((A^T)^{-1}A^T=\mathbf1\)}$$$$\left.(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\quad\right.$$